Wie prüfe ich, ob eine bestimmte Zeitreihe nur weißes Rauschen ist?

In statistischer Hinsicht wird eine Zeitreihe ${x_t}$ als schwach weiß in Excel (weißes Rauschen) charakterisiert, wenn ${x_t}$ eine Folge von seriell unkorrelierten Zufallsvariablen mit Nullmittelwert und endlicher Varianz ist. Starkes weißes Rauschen hat außerdem die Eigenschaft, unabhängig und identisch verteilt zu sein, was bedeutet, dass keine Autokorrelation vorliegt.

Insbesondere wenn $x_t$ normalverteilt mit Mittelwert Null und Standardabweichung $\sigma$ ist, wird die Reihe als gaußsches weißes Rauschen (weißer Test in Excel) bezeichnet.

Statistische Prüfung

Um die Datenreihen auf Anzeichen einer seriellen Korrelation zu untersuchen, verwenden wir den statistischen Ljung-Box-Test und die modifizierte $Q^*(m)$-Statistik.

Der Ljung-Box-Test:

$$H_o:\rho_1=\rho_2=\rho_3=...=\rho_m=0 $$ $$ H_1:\exists \rho_{1\leqslant k\leq m} \neq 0$$

Wo:

• $H_o$: Nullhypothese (Weißes Rauschen)
• $H_1$: Alternativhypothese (nicht weißes Rauschen)
• $m$: Obere Verzögerungsgrenze des Tests. Die obere Verzögerungsgrenze kann entweder von uns festgelegt oder der Funktion überlassen werden, einen geeigneten Grenzwert zu wählen. In der Praxis wird $\ln{T}$ als geeigneter Wert für $m$ verwendet.

Ljung-Box-Statistik

Die Ljung-Box-Statistik (d. h. $Q^*(m)$) ist eine Erweiterung des klassischen $\chi^2$-Tests, insbesondere für kleine Stichprobengrößen.

$$Q^*(m)=T(T+2)\sum_{j=1}^m{\frac{\rho_j^2}{T-j}} Q^*(m)\sim \chi_{\nu=m}^2$$

Dies ist ein einseitiger statistischer Test. Ein p-Wert, der größer als das Signifikanzniveau ($\alpha$) ist, führt dazu, dass wir die Nullhypothese nicht ablehnen, oder anders ausgedrückt, dass die Zeitreihe in Excel ein weißer Test ist (weißes Rauschen).

WNTest

Die WNTest-Funktion in NumXL berechnet den P-Wert für die $Q^*(m)$-Statistik für unsere Beispieldaten. Die obere Verzögerungsgrenze ($m$) ist standardmäßig auf $\ln{T}$ festgelegt, aber der Benutzer kann diesen Wert überschreiben, indem er einen Wert für diesen Parameter übergibt.

Beispiel: Mithilfe des NumXL-Formulars für deskriptive Statistiken haben wir verschiedene zusammenfassende Statistiken berechnet und unter anderem den Ljung-Box-Weißrauschtest (WNTest) durchgeführt.

Die zusammenfassenden Statistiken und Tests:

Der P-Wert des Ljung-Box-Weißrauschtests (Weißtest in Excel) ist größer als das Signifikanzniveau (d. h. $\alpha$), sodass wir die Weißrauschhypothese ($H_o$) nicht verwerfen, oder, einfach ausgedrückt: Es gibt keinen statistischen Nachweis für eine serielle Korrelation, sodass die Daten Weißrauschen sein können.

Lehrvideo