Was ist die Bedeutung der Volatilität? Erstens ist die Volatilität oder Standardabweichung ein wichtiges Maß für das Marktrisiko. Zweitens wird sie häufig zur Bewertung von Derivaten (z. B. Optionen) verwendet.
In diesem Artikel zeigen wir Ihnen, wie Sie mit wenigen Schritten die Daten des Marktindex S&P 500 mithilfe des NumXL-Add-Ins in Microsoft Excel in eine robuste Volatilitätsprognose umwandeln können.
Für unsere Zwecke verwenden wir die Preise des S&P 500 ETF (auch bekannt als SPDR) als Stellvertreter für den US-Markt für Large-Cap-Aktien. Darüber hinaus verwenden wir die monatlichen Preise (zu Beginn des Monats) von Januar 2000 bis Februar 2012.
Ziel ist es, eine modellbasierte Volatilitätsprognose für die nächsten 12 Monate (d. h. bis Ende Februar 2013) zu erstellen.
Schritt 1: Monatliche Erträge
Die Zeitreihe der SPDR-Preise ist nicht stationär und eignet sich daher nicht für viele Zeitreihen oder ökonometrische Analysen. Daher haben wir sie zunächst in monatliche Renditen umgerechnet. Außerdem haben wir die logarithmierten Renditen den einfachen Renditen vorgezogen, um die Werte der Zeitreihe zu streuen, da die einfachen Renditen per Definition nicht kleiner als minus 1 (-100 %) sein können.
In der nachstehenden Grafik haben wir den gewichteten gleitenden 12-Monats-Durchschnitt (WMA) und die exponentiell gewichtete Volatilität (EWMA) aufgetragen, um die Schwankungen des Mittelwerts und der Volatilität im Zeitverlauf zu veranschaulichen.
Bitte beachten Sie, dass sich die Volatilitätsprognose (stellvertretend durch EWMA) im Gegensatz zu den Renditen gleichmäßig bewegt, aber empfindlicher auf negative Renditen reagiert als auf einen Markt mit positiven Renditen.
Schritt 2: Zusammenfassende Statistik
Berechnen wir nun die deskriptiven Statistiken der monatlichen Renditestichprobe: Durchschnitt, Standardabweichung usw., damit wir die Daten besser verstehen können. Die integrierten Funktionen von NumXL können wie gezeigt genutzt werden, um eine Reihe von Statistiken zu erstellen, die die vergangenen Markttrends zusammenfassen.
Geben Sie im Assistenten für zusammenfassende Statistiken den Eingabedatensatz (z. B. den Bereich der zurückgegebenen Zellen in Spalte H) in die Registerkarte "Zeitreihe" und die Startzelle in den Ausgabebereich ein, und klicken Sie dann auf OK.
Die generierte Ausgabetabelle ist unten abgebildet. Bitte beachten Sie, dass die Zellen in der Ausgabetabelle mit den Eingabedatenquellen verbunden sind; der Assistent für Zusammenfassende Statistiken schreibt die Formeln für jede Ausgabe unter Verwendung der in der ersten Zeile jeder Datenspalte angegebenen Bezeichnungen.
Die Untersuchung der Ausgabetabelle zeigt, dass die Verteilung der Log-Renditen eine negative Schiefe (nach links geneigt) und Fat-Tails aufweist. Außerdem zeigt das Ergebnis des White-Noise-Tests, dass es keine signifikante serielle Korrelation zwischen den Renditen gibt. Insgesamt deuten diese Ergebnisse darauf hin, dass diese Daten durch ein Modell vom Typ GARCH gut dargestellt werden können.
Schritt 3: E-GARCH-Modellierung
Schon früh haben wir festgestellt, dass die Volatilitätsprognose (Proxy-EWMA) auf negative Renditen (Abschwung) anders reagierte als auf positive. Glücklicherweise erfasst das exponentielle GARCH (E-GARCH) dieses Phänomen
NumXL unterstützt drei (3) Arten von Verteilungen für die Residuen: (1) Gauß-Verteilung, (2) verallgemeinerte Fehlerverteilung (GED) und (3) Student's t-Verteilung. Die Beispieldaten weisen eine relativ geringe überschüssige Kurtosis auf, so dass das GARCH-Modell die gesamte überschüssige Kurtosis erfasst und somit eine Normalverteilung der Residuen (d. h. eine Gauß-Verteilung) ermöglicht.
Nach Eingabe des Eingabedatensatzes in Time Series und der Zelle für den Ausgabebereich kann das Modell ausgewählt werden und muss durch Eingabe einiger modellspezifischer Parameter vorbereitet werden. Bitte beachten Sie, dass diese Werte noch nicht bekannt sind, aber eine grobe und intelligente Schätzung eingegeben werden sollte.
Wie in der zusammenfassenden Statistik sind die Zellen in der E-GARCH-Ausgabetabelle über die Formeln mit den Quell-Eingabedaten verbunden.
Schritt 4: E-GARCH-Kalibrierung
Um das Modell an unsere Beispieldaten anzupassen (d.h. zu kalibrieren): (1) wählen Sie die Zelle mit der Bezeichnung "EGARCH(1,1)" aus, (2) klicken Sie auf das Symbol oder den Menüpunkt Kalibrieren und schließlich (3) klicken Sie auf die Schaltfläche Lösen.
Der MS Excel Solver maximiert die Log-Likelihood-Funktion (LLF), indem er die Werte der Koeffizienten ändert.
Schritt 5: Rückstandsdiagnose
Sobald die Koeffizienten des E-GARCH-Modells kalibriert sind, können wir die standardisierten Residuen des Modells untersuchen, um sicherzustellen, dass sie den zugrunde liegenden Annahmen des Modells entsprechen (d. h. normal verteilt sind).
Anhand der Residuen-Diagnose-Tabelle stellen wir fest, dass alle Tests mit Ausnahme des ARCH-Tests, der das Vorhandensein einer Abhängigkeit höherer Ordnung (d. h. quadratisch) nahelegt, positiv ausfallen. Für die Zwecke dieses Papiers werden wir das kalibrierte Modell akzeptieren.
Die GARCH-Modellfamilie erfasst ein häufiges und wichtiges Phänomen der Volatilität: die Mittelwertumkehr. Unter Verwendung unseres E-GARCH-Modells wird die langfristige monatliche Volatilität auf 4,66 % (oder 16,14 % jährlich) geschätzt.
Schritt 6: Volatilitätsprognose
Die GARCH-Modellfamilie beschreibt die Variation der einstufigen (d. h. lokalen) Volatilität über die Zeit, aber in der Praxis benötigen wir Volatilitätswerte, die sich über mehrere Stufen (d. h. global oder term) erstrecken. In dieser Arbeit werden wir sowohl die lokale als auch die Laufzeitvolatilität für die nächsten 12 Monate aufbereiten.
Um dies zu erreichen, (1) wählen Sie die Zelle mit dem "EGARCH(1,1)" Text, (2) klicken Sie auf das Symbol oder Menü "Prognose", wählen Sie die letzten (3) realisierten Renditen und (4) Volatilitäten, (5) ändern Sie den Prognosehorizont und (6) geben Sie den Ausgabeort an. Wählen Sie abschließend "OK".
Anmerkungen
- 1. Die Eingabedaten sollten die neuesten Beobachtungen darstellen. Für das E-GARCH (1, 1)-Modell sind mindestens eine oder zwei beobachtete Renditen erforderlich.
- 2. Die Prognose der realisierten Volatilität (Eingabedaten) ist die jüngste Volatilität. Da die Volatilität nicht direkt beobachtet wird, müssen Sie sie mit Ihrer bevorzugten Methode berechnen. In diesem Beispiel wurde die Standardabweichung des 12-Monats-Fensters verwendet.
Die von der NumXL-Prognose ausgegebene Tabelle lautet:
Das E-GARCH-Modell besagt, dass wir uns derzeit in einer historischen Niedrig-Volatilitäts-Arena befinden, und es prognostiziert einen Anstieg (Mean Reversion) der Gesamtvolatilität auf ihr langfristiges Niveau (4,66%/Monat oder 16,14%/Jahr).
Genauer gesagt zeigen diese Ergebnisse, dass wir für den Monat Februar 2012 (d.h. bis zum 1. März 2012) eine geringere Volatilität als im Januar 2012 prognostizieren, da der Wert unter dem langfristigen Basiswert von 4,66% liegt. Allerdings wird erwartet, dass diese Volatilität im März zunimmt, da sie zu ihrem langfristigen Mittelwert von 4,66% zurückkehrt.
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