Diskrete Fourier-Transformation (DFT) - Trigonometrische Darstellung

Dies ist das zweite Tutorial in unserer fortlaufenden Serie über die Spektralanalyse von Zeitreihen. In diesem Beitrag setzen wir unsere Diskussion über die diskrete Fourier-Transformation in Excel, ihre Interpretation und Anwendung im Zeitbereich fort.

Die DFT ist im Grunde eine mathematische Transformation und vielleicht ein bisschen trocken, aber wir hoffen, dass dieses Tutorial Ihnen durch die Verwendung von NumXL-Funktionen und Assistenten ein tieferes Verständnis und mehr Intuition vermittelt.

Hintergrund

Seit der Veröffentlichung unseres ersten Eintrags zur DFT gab es mehrere Anfragen, insbesondere zur Verwendung der DFT-Komponenten zur Darstellung des Eingabedatensatzes als Summe der trigonometrischen Sinus-Cosinus-Funktionen. Die Anfragen waren dadurch motiviert, dass diese Darstellung zur Interpolation von Zwischenwerten und möglicherweise zur Extrapolation (aka Vorhersage) über den Eingabedatensatz hinaus verwendet wird.

Im Prinzip wandelt die DFT eine diskrete Reihe von Beobachtungen in eine Reihe kontinuierlicher trigonometrischer (d. h. Sinus- und Kosinus-) Funktionen um. Das ursprüngliche Signal kann also wie folgt dargestellt werden:

$$x(t)=\frac{1}{N}\left ( A_o+\sum_{i=1}^N A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i)\right )$$

Wo:

• $x(t)$ ist der Wert der Beobachtung zum Zeitpunkt $t$.
• $t$ ist der diskrete Zeitpunkt, zu dem eine Beobachtung gemacht wurde.
• $t \in \left \{ 0,1,2 \cdots N-1 \right \}$.
• $N$ ist die Anzahl der Beobachtungen im Eingabedatensatz.
• $\omega = \frac{2\pi}{N}$ ist die Grund- oder Hauptfrequenz.
• $A_i\angle \phi_i$ ist die Amplitude und die Phase der i-ten diskreten Fourier-Komponente.

Analyse

Untersucht man die Komponenten der Fourier-Transformation (d. h. Amplitude und Phase) einer endlichen Reihe näher, so stellt man Folgendes fest:

1. Die Amplitudenreihe ist symmetrisch um die Komponente $N/2$.
2. Die Phase der Komponente $k$ ist der Negativwert der Komponente $N-k$.

Im Wesentlichen benötigen wir nur die erste Hälfte der DFT-Komponenten, um den ursprünglichen Eingangsdatensatz wiederherzustellen. Die ursprüngliche Zeit wird durch die folgenden Komponenten dargestellt:

$$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o+2\times\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i)\right)$$

Proof

$$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o+\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i) +\sum_{i=N/2+1}^N A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i) \right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o+\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i) +\sum_{i=N/2+1}^N A_{N-i}\times cos(\omega\times i \times t - \phi_{N-i}) \right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o+\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i) +\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times (N-i) \times t - \phi_i) \right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o+\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i) + A_i\times cos(\omega\times (N-i) \times t - \phi_i) \right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o+\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i) + A_i\times cos(2\pi\times t -(\omega\times i \times t + \phi_i)) \right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o + 2\times \sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i)\right)$$

WICHTIG: Bei einem Datensatz gleicher Größe muss die letzte DFT-Komponente nicht mit 2 multipliziert werden. Die Kosinusdarstellung der Eingabedaten lautet daher wie folgt:

$$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o + 2\times \sum_{i=1}^{N/2-1} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i)+ A_{N/2}\times cos(\omega\times \frac{N}{2} \times t + \phi_{N/2})\right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o + 2\times \sum_{i=1}^{N/2-1} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i)+ A_{N/2}\times cos(\pi \times t + \phi_{N/2})\right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o + 2\times \sum_{i=1}^{N/2-1} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i)+ A_{N/2}\times cos(\phi_{N/2})cos(\pi \times t)\right)$$

Schlussfolgerung

Mit Hilfe der diskreten Fourier-Transformation stellen wir den diskreten Eingangsdatensatz als Summe deterministischer kontinuierlicher trigonometrischer Funktionen dar.

Im Gegensatz zu den Originaldaten, die für diskrete Zeitpunkte definiert sind, ist die Fourier-Darstellung kontinuierlich und somit für alle Zeitwerte definiert. Mit dieser kontinuierlichen Darstellung können wir alle Werte in diesem Bereich interpolieren (jedoch nicht für die Extrapolation/Prognose).