Beispiel für eine Umsatzprognose - Vergleich und Auswahl von Modellen

Mohamad

17. August 2019 00:28

In diesem Beitrag werden ökonometrische Verfahren angewandt, um eine 6-Monats-Prognose für einen Außendienst des Unternehmens X zu erstellen. Als Beispieldaten werden die monatlichen Gesamtabsatzzahlen der letzten 25 Monate verwendet.

Unser Ziel ist es, konkurrierende Modelle zu vergleichen und einen Leitfaden für die Auswahl des besten Modells festzulegen.

Diese Abbildung zeigt die historischen monatlichen Gesamtverkaufszahlen.

Schritt 1: Zusammenfassende Statistik

Verwenden Sie den Assistenten für deskriptive Statistiken (siehe Abbildung unten), um die verschiedenen zusammenfassenden Statistiken für die Beispieldaten zu prüfen.

Diese Abbildung zeigt das Dialogfeld 'Zusammenfassende Statistik' für die Verkaufsdatenstichprobe.

Die Tabelle mit den zusammenfassenden Statistiken (siehe unten) zeigt, dass die Datenreihe seriell korreliert ist (d. h. den Test auf weißes Rauschen nicht bestanden hat) und fette Schwänze aufweist (signifikante übermäßige Kurtosis und ARCH-Effekt).

Diese Abbildung zeigt die Ausgabetabelle der zusammenfassenden Statistik für die monatliche Verkaufszahlenstichprobe.

Schritt 2: Korrelogramm-Analyse

Starten Sie über die NumXL-Symbolleiste den Korrelogramm-Assistenten.

Diese Abbildung zeigt das Dialogfeld oder Benutzerformular für das Korrelationsdiagramm.

Markieren Sie die Protokolldaten und wählen Sie 9 Verzögerungen für ACF und PACF. Erstellen Sie dann ein Korrelogramm für die Daten

Diese Abbildung zeigt die ACF- und PACF-Ausgabetabelle - Korrelogrammausgabe.

Diese Abbildung zeigt den ACF- und PACF-Plot mit Konfidenzintervallgrenzen.

Betrachtet man die ACF- und PACF-Diagramme, so scheinen die Daten von einem ARMA-Prozess mit einer AR-Ordnung von Eins(1) und einer MA-Ordnung von Zwei(2) gesteuert zu werden. Die Datenstichprobe ist relativ klein, daher ist darauf zu achten, dass die Daten nicht mit einem Modell hoher Ordnung überangepasst werden.

Schritt 3: ARMA-Modellierung

Auf der Grundlage der ACF/PACF-Darstellung können wir ein ARMA-Modell für unsere Daten vorschlagen. Außerdem ist die AR- oder MA-Ordnung kleiner als oder gleich zwei (2).

$$\left(1-\sum_{i=1}^p{\phi_i L^i}\right)\left(x_t-\mu\right)=\left(1+\sum_{j=1}^q{\theta_j L^j}\right)a_t$$

Wo:

$L$ = der Lag- oder Backshift-Operator
$\phi_i$ = der i-te Koeffizient der AR-Komponente.
$p$ = die Ordnung der autoregressiven (AR) Komponente.
$x_t$ = der monatliche Gesamtumsatz im Monat $t$
$\mu$ = der langfristige Mittelwert des ARMA-Prozesses
$\theta_j$ = der j-te Koeffizient der MA-Komponente
$q$ = die Reihenfolge der Komponente des gleitenden Durchschnitts (MA)
$a_t$ = das Residuum, der Schock, die Innovation oder der Fehlerterm im Monat $t$.

In diesem Abschnitt werden wir einen Brute-Force-Ansatz verwenden und alle möglichen ARMA-Modell-Permutationen untersuchen. Insgesamt werden wir jedes Modell spezifizieren, kalibrieren, validieren und schließlich mit den anderen vergleichen, um die beste (und einfachste) Anpassung zu ermitteln.

Schritt 3.1: Spezifikation des Modells

Diese Abbildung zeigt die Spezifikation des ARMA-Modells mit dem ARMA-Assistenten oder Dialog.

Diese Abbildung zeigt die Ausgabetabelle des ARMA-Modells für Modellparameter, Anpassungsgüte und Residuen-Diagnose.

Schritt 3.2: Modellkalibrierung

Wählen Sie die Zelle oben in der Tabelle des Flugmodells (z.B. "ARMA(1,2)") und klicken Sie auf das Symbol "Kalibrierung" in der Symbolleiste.

Diese Abbildung zeigt die ARMA-Kalibrierung unter Verwendung der Tastenkombination NumXL zur Initialisierung von Excel Solver.

Schritt 3.3: Prüfen und Validieren des kalibrierten Modells

Für das obige ARMA(2.1)-Modell sind die neuen optimalen Werte für die Modellparameter nachstehend aufgeführt:

In dieser Abbildung werden die ARMA(2,1)-Residuen nach der Kalibrierung für die Annahmen des Modells untersucht.

Step 3.4: Compare the Models and Select the Best One

In der beigefügten Tabelle haben wir den vorherigen Schritt (3.1-3.3) für alle ARMA-Modelle der Ordnung (1,0) bis (2,2) wiederholt. Die folgende Tabelle fasst unsere Ergebnisse zusammen:

Diese Abbildung zeigt die zusammenfassende Tabelle für die Anpassungsgüte der verschiedenen konkurrierenden Modelle.

Bei der Berechnung des Akaike-Informationskriteriums (AIC) wird die Komplexität des Modells berücksichtigt, und die Anpassung wird mit zunehmender Anzahl der freien Argumente benachteiligt. Für den Vergleich verschiedener Modelle wird das AIC-Maß verwendet.

Obwohl die AICs für alle Modelle vergleichsweise nahe beieinander liegen, bevorzugen wir die einfachste Methode und wählen ARMA(1,0) oder AR(1).

Diese Abbildung zeigt das am besten gewählte Modell - ARMA(1,0)/AR(1) - und die Parameter des optimalen Modells.

Diese Abbildung zeigt die an das AR(1)-Modell angepassten Daten zusammen mit der ursprünglichen Stichprobe aufgetragen.

Schritt 4: Vorhersage

Die Residuen des gewählten kalibrierten Modells erfüllen die Annahmen des ARMA-Modells. Nun sind wir bereit, eine 6-Monats-Prognose für den monatlichen Gesamtumsatz durchzuführen.

Wählen Sie die Zelle mit der Bezeichnung "ARMA(1,0)" aus und klicken Sie auf das Symbol "Prognose" in der Symbolleiste.

Diese Abbildung zeigt das Dialogfeld bzw. den Assistenten für die Prognose mit NumXL Forecast.

Bitte beachten Sie, dass sich die Eingabezeitreihe für Prognosezwecke auf die letzten Gesamtumsatzzahlen (d. h. den letzten Monat) bezieht. Die Ausgabetabelle ist unten dargestellt:

Diese Abbildung zeigt die Prognosetabelle für die monatlichen Gesamtverkäufe.

Bitte beachten Sie: Die Prognosewerte driften im Laufe der Zeit in Richtung des langfristigen Mittelwerts des Modells von 50,65 ($\phi_o$ ), und die Prognosefehler nähern sich 1,8; das ist die marginale (d. h. unbedingte) langfristige Standardabweichung des Modells.

Zeichnen Sie schließlich den prognostizierten Mittelwert und das Konfidenzintervall für die nächsten 9-12 Monate ein, wie unten dargestellt:

Diese Abbildung zeigt das Diagramm der Umsatzprognose mit Konfidenzintervallgrenzen oder -bereich.

Schlussfolgerung

Nachdem wir nun das ARMA(1,0)- oder AR(1)-Modell als beste Anpassung für die Beispieldaten ausgewählt haben, untersuchen wir die praktischen Auswirkungen seiner Darstellung. Das Modell zeigt eine signifikante Korrelation der Verkaufszahlen zwischen aufeinanderfolgenden Monaten.

Außerdem werden etwa fünfundvierzig Prozent (45 %) der Verkaufsfälle (die Unternehmen X gewonnen hat) innerhalb von zwei Monaten abgeschlossen:

$$ r = \frac{\phi_1}{1+\phi_1}=\frac{0.82}{1.82}=45\% $$

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