In dieser Arbeit werden wir die Datenreihe des internationalen Personenverkehrs (G) analysieren, wie sie im Lehrbuch Time Series: Forecast and Control von Box, Jenkins und Reinsel (ISBN: 978-0470272848). Dieses Lehrbuch wurde erstmals in den späten 1960er Jahren veröffentlicht und wird von vielen Praktikern als das maßgebliche Grundlagenlehrbuch zum Thema Zeitreihen angesehen.
Die Reihe der internationalen Fluggäste beschreibt die monatlichen Gesamtzahlen der internationalen Fluggäste für den Zeitraum zwischen Januar 1949 und Dezember 1960.
Ziel ist es hier, die gleiche Analyse wie im Buch durchzuführen und die Genauigkeit der NumXL-Berechnungen zu demonstrieren. Darüber hinaus demonstriert SAS - ein führender Anbieter von Statistiksoftware - seine eigene Analyse für denselben Datensatz, so dass wir unseren Nutzern dringend empfehlen, auch ihre Ergebnisse über diesen Link zu überprüfen:
SAS Verfahrensreferenz - Beispiel 7.2 Saisonales Modell für die Airline-Serie
Schritt 1: Datentransformation
Verwenden Sie den Assistenten für deskriptive Statistiken (siehe Abbildung unten), um die verschiedenen zusammenfassenden Statistiken der Stichprobendaten zu untersuchen.
Die Tabelle mit den zusammenfassenden Statistiken (siehe unten) zeigt, dass die Datenreihe seriell korreliert ist (d. h. den Test auf weißes Rauschen nicht bestanden hat) und fette Schwänze aufweist (signifikante übermäßige Kurtosis und ARCH-Effekt).
Bei der ursprünglichen Analyse werden die Datenreihen mit der Funktion des natürlichen Logarithmus (d. h. LN) umgerechnet. Führen Sie dieselbe Technik durch, wie im nachstehenden Diagramm dargestellt:
Dieses Verfahren sollte die folgenden zusammenfassenden Statistiken ergeben:
Beachten Sie, dass die transformierte Datenreihe glatter ist als die Originaldaten und der Zeittrend linearer erscheint als das Original.
Schritt 2: Korrelogramm-Analyse
Starten Sie über die NumXL-Symbolleiste den Korrelogramm-Assistenten.
Markieren Sie die Protokolldaten und wählen Sie 24 Verzögerungen für ACF und PACF. Erstellen Sie dann ein Korrelogramm für die Daten.
Die Untersuchung des ACF-Diagramms zeigt, dass die Daten mit Verzögerung eins (1) und mit Verzögerung zwölf (12) integriert sind. Differenzieren Sie die Daten für beide Verzögerungen (d. h. $ \left(1-L\right)\left(1-L^{12}\right) $), wie in der nachstehenden Grafik dargestellt:
Der differenzierte Datensatz sollte das folgende Korrelogramm ergeben:
Außerdem ist zu beachten, dass die ACF-Darstellung der differenzierten Datenreihe eine signifikante Autokorrelation bei der ersten (1) und zwölften (12) Verzögerung aufweist.
Schritt 3: Modellierung der Fluggesellschaft
Das vorgeschlagene Modell für die Log-Passagierdatenreihe ist ein Airline-Modell mit einer Saisonlänge von 12 Monaten.
$$\left(1-L\right)\left(1-l^{12}\right)\ln{X_t}=\mu \left(1+\theta L\right)\left(1+\Theta L^{12}\right)a_t$$
Wo
- L = der Backshift-Operator (auch B genannt).
- $a_t$ = der Fehlerterm, der Schock, die Innovation oder einfach das Modellresiduum zum Zeitpunkt t.
- $\mu$ = der Mittelwert der saisonal differenzierten Zeitreihe.
Klicken Sie in der NumXL-Symbolleiste auf das Symbol Fluglinie, um den Assistenten für Fluglinienmodelle zu starten.
Schritt 4: Kalibrierung
Wählen Sie die Zelle am oberen Rand der Tabelle mit den Fluglinienmodellen (z.B. "AIRLINE(12)") und klicken Sie auf das Kalibrierungssymbol in der Symbolleiste.
Der Excel-Löser versucht, die optimalen Werte für die Parameter des Fluglinienmodells (d. h. $\theta,\Theta$) zu ermitteln.
Die neuen optimalen Werte für die Modellparameter sind nachstehend aufgeführt:
Die Analyse der Residuen-Tabelle zeigt, dass die kalibrierten Werte alle Annahmen des zugrundeliegenden Modells erfüllen (d.h. Gauß-verteilte Residuen).
Die Parameterwerte des kalibrierten Modells auf der SAS-Website unterscheiden sich geringfügig von denen, die wir zuvor berechnet haben:
Unsere Werte liegen jedoch innerhalb der Fehlertoleranzgrenzen (d. h. ) und unser Akaike-Informationskriterium (AIC) ist besser.
Der Hauptunterschied zwischen den NumXL- und SAS-Werten lässt sich unserer Meinung nach dadurch erklären, dass wir den Intercept-Wert ($\mu$ ) nicht auf Null gesetzt haben.
Schritt 5: Vorhersage
Die Residuen des kalibrierten Modells erfüllen die Annahmen eines Airline-Modells. Nun können wir eine 24-Monats-Prognose für die monatlichen Passagierzahlen im internationalen Flugverkehr erstellen.
Die Vorhersage wird in zwei Phasen erfolgen:
- Prognose für das Protokoll der monatlichen Gesamtwerte
- Umwandlung der Vorausschätzung in regelmäßige monatliche Gesamtbeträge
Markieren Sie die Zelle "AIRLINE(12)" und klicken Sie auf das Symbol "Prognose" in der Symbolleiste.
Bitte beachten Sie, dass sich die Eingabezeitreihe für Prognosezwecke auf die letzten 13 Monate bzw. die Beobachtungen zwischen November 1959 und Dezember 1960 bezieht. Die Ausgabetabelle ist unten dargestellt:
Zur Umrechnung in reguläre monatliche Gesamtbeträge verwenden Sie diese Gleichungen:
$$UL=e^{UL_{log}}$$
$$LL=e^{LL_{log}}$$
$$\mu=e^{\mu_{log}+\frac{\sigma_{log}^2}{2}}$$
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