Hurst-Exponent in Excel

Gelegentlich erhält unser Support-Desk Anfragen zum Hurst-Exponenten: Was ist das? Wie verwendet man ihn in Excel? Und wie interpretiert man die berechneten Werte? In dieser Ausgabe werden wir den Hurst-Exponenten ausführlich behandeln und Ihnen hoffentlich dabei helfen, ein Gefühl und Verständnis für den Hurst-Exponenten zu entwickeln.

Was ist der Hurst-Exponent?

Der Name "Hurst-Exponent", "Hurst-Index" oder "Hurst-Koeffizient" leitet sich von Harold Edwin Hurst (1880-1978) ab, dem führenden Forscher dieser Studien. Die Studien mit dem Hurst-Exponenten wurden ursprünglich in der Hydrologie entwickelt, um die optimale Dimensionierung von Staudämmen für die über einen langen Zeitraum beobachteten schwankenden Regen- und Trockenheitsverhältnisse am Nil zu bestimmen.

Der Hurst-Exponent (H) wird als Maß für das Langzeitgedächtnis von Zeitreihen verwendet. Er bezieht sich auf die Autokorrelationen der Zeitreihen und die Geschwindigkeit, mit der diese mit zunehmender Verzögerung zwischen den Wertepaaren abnehmen. Der Hurst-Exponent wird oft als "Index der Abhängigkeit" oder "Index der weitreichenden Abhängigkeit" bezeichnet.

Was ist das Langzeitgedächtnis eines Prozesses?

Langes Gedächtnis, auch Langstreckenabhängigkeit (LRD) oder Langstreckenpersistenz genannt, ist ein Phänomen, das bei Zeitreihendaten auftreten kann. Es bezieht sich auf die Abklingrate der statistischen Abhängigkeit zwischen zwei Punkten, wenn die Zeit zwischen den Punkten zunimmt.

Weist der ARMA (P, Q)-Prozess ein langes Gedächtnis auf? Nein! Ein stationärer ARMA mit endlichen P- und Q-Ordnungen, ARMA(P, Q), hat ein kurzes Gedächtnis. Sie können dies anhand des Autokorrelationsfunktionsdiagramms (ACF) überprüfen, dessen Wert exponentiell abfällt und nach wenigen Verzögerungen verschwindet.

Wie verhält sich ein Modell mit langem Arbeitsspeicher?
Im Allgemeinen kann ein Prozess mit einem langen Gedächtnis wie eine langsame Zufallsbewegung (Drift) aussehen, mit einer langsam abklingenden Autokorrelationsfunktion. Betrachten wir zum Beispiel den monatlichen Durchschnittswert des Kohlendioxidgehalts (CO2), der von der Wetterstation Mauna Loa auf Hawaii aufgezeichnet wurde.

Als Nächstes entfernen wir die 12-monatige Saisonalität, indem wir den Wert jeder Beobachtung von einer 12 Monate zurückliegenden differenzieren.

Das Korrelationsdiagramm zeigt, dass die Autokorrelationsfaktoren (ACF) abnehmen, allerdings sehr langsam.

Wie modellieren wir die Zeitreihe mit langem Gedächtnis? Genau wie im nichtstationären ARIMA-Modell: Wir extrahieren die fraktionierte Integrationskomponente und erfassen das kurze Gedächtnis in den Residuen mit einem ARMA-Modell.

Mit Hilfe des fraktionierten Differenzoperators erfassen wir die Langzeitdynamik in einer Zeitreihe:

\[{(1 - L)^d} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} d\\ k \end{array}} \right)} {( - 1)^k}{L^k} = 1 + {\omega _1}L + {\omega _2}{L^2} + ...\]

Where:

• $L$ = Verzögerungs- oder Rückverschiebungsoperator
• ${\omega _1} = - d$
• ${\omega _2} = - \frac{{{\omega _1} \times (d - 1)}}{2}$
• ${\omega _N} = - \frac{{{\omega _{N - 1}} \times (d - N - 1)}}{N}$

Für $\left| d \right| \le \frac{1}{2}$, den Koeffizienten ${\omega _k}$ zerfällt die Leistung relativ schnell (jedoch langsamer als der exponentielle Zerfall).

Setzt man alles zusammen, erhält man den fraktionalen ARIMA (d. h. FARIMA)

\[(1 - {\phi _1}L - {\phi _2}{L^2} - ... - {\phi _p}{L^p}){(1 - L)^d}{X_t} = (1 + {\theta _1}L + {\theta _2}{L^2} + ... + {\theta _q}{L^q}){a_t}\]

Wo:

• $L$ = Verzögerungs- oder Rückverschiebungsoperator
• ${X_t}$ = Zeitreihen-Datensatz
• ${a_t}$ = Zeitreihen zu Innovationen (oder Schocks)
• $d$ = Integrationsreihenfolge, und sein Wert zwischen -0,5 und 0,5, ausschließlich.

Wie ermitteln wir die Integrationsordnung (d)? Die fraktionale Integrationsordnung (d) entspricht dem Hurst-Exponenten (H) minus 0,5 (d. h. d = H - 0,5).

Auslegung

Kurz gesagt, der Hurst-Exponent ist ein einzelner Wert (H), mit dem wir eine Beobachtung über das Langzeitgedächtnis der Zeitreihe (serielle Korrelation) machen können:

Wichtig: Bei einer Zeitreihe mit einem Hurst-Exponenten von 0,5 kommen wir zu dem Schluss, dass die Zeitreihe kein Langzeitgedächtnis (oder keine Langzeitabhängigkeit) aufweist. Dies ist jedoch nicht gleichbedeutend mit der Aussage, dass es sich um eine Zeitreihe mit weißem Rauschen handelt, da es einen oder mehrere signifikante Autokorrelationsfaktoren bei niedrigeren Lag-Ordnungen geben kann.

Berechnung

Die ursprüngliche und bekannteste Methode zur Schätzung des Hurst-Exponenten ist die sogenannte R/S-Analyse (Rescaled Range), die auf den früheren hydrologischen Erkenntnissen von Hurst beruht.

Es ist jedoch bekannt, dass dieser Ansatz zu verzerrten Schätzungen führt. Bei einer kleinen Stichprobengröße gibt es eine signifikante Abweichung von den 0,5 Steigungen (d. h. unkorrelierte Langstrecken).

Größenkorrigierte (Anis-Llyod) Schätzung

Um die eingebaute Verzerrung in der ursprünglichen (empirischen) Schätzung des Hurst-Exponenten zu korrigieren, führte Anis-LIyod eine größenkorrigierte Schätzung des neu skalierten Bereichs (R/S) ein.

Statistische Bedeutung

Für die meisten Schätzer des Hurst-Exponenten wurde bisher keine asymptotische Verteilungstheorie abgeleitet. Wir haben jedoch eine ungefähre funktionale Form für die Konfidenzintervalle der Anis-Lloyd-korrigierten R/S-Analyse.

Um die statistische Signifikanz der berechneten Hurst-Exponenten-Schätzung() zu untersuchen, konstruieren wir den folgenden Hypothesentest:

\[\begin{array}{l} {{\rm{H}}_o}:{H_q} = {\rm{ uncorrelated}}\\ {{\rm{H}}_1}:{H_q} = {\rm{ long - memory}} \end{array}\]

Anschließend berechnen wir den entsprechenden Hurst-Exponenten-Schätzwert und die Konfidenzintervallgrenzen einer unkorrelierten Zeitreihe (ohne Langzeitspeicher) für eine bestimmte Stichprobengröße.

Schließlich wird der Wert des Anis-Llyod-Hurst-Exponenten (korrigierter R/S-Wert) mit dem C.I. der Null-Hypothese (unkorrelierte Zeitreihen) verglichen.

• Die Schätzung des Hurst-Exponenten liegt außerhalb des C.I.; die Zeitreihe hat also ein langes Gedächtnis.
• Der Hurst-Exponent liegt innerhalb des C.I., d.h. die Zeitreihe weist keine signifikante Langzeitgedächtniseigenschaft auf, und die Beobachtungen können unkorreliert sein.

Hurst-Exponent-Analyse in Excel

Betrachten wir den 12-monatigen de-seasonalisierten log CO2-Wert zwischen März 1958 und November 2020.

Der Anis-Llyod-korrigierte R/S-Hurst-Exponenten-Schätzwert beträgt 0,84, und dieser Wert liegt außerhalb des Konfidenzintervalls des Hurst-Exponenten einer unkorrelierten Zeitreihe derselben Größe. Die saisonbereinigte CO2-Log-Zeitreihe zeigt ein Langzeitgedächtnisverhalten, und die fraktionierte Differenzordnung (d) beträgt 0,34 (d. h. 0,84 - 0,50 = 0,34).