Serie de modelado ARMA parte 3

Este es el tercer tema de nuestra serie de modelado ARMA. En este número, introducimos los patrones comunes que se encuentran a menudo en datos de series de tiempo real y discutimos algunas técnicas para identificar/modelar esos patrones, allanando el camino para una descomposición de discusión más elaborada y metodologías de ajuste estacional en temas futuros.

 

La pregunta central de este tema es ¿Cuáles son los patrones comunes, y cómo los identificamos y los modelamos para obtener una mejor comprensión del proceso subyacente y para predecir mejor nuestros datos?

 

Antecedentes

En el análisis de series de tiempo, nuestros principales objetivos son (a) identificar la naturaleza del fenómeno representado por la secuencia de observaciones, y (b) pronosticar (es decir, predecir) valores futuros de la variable de las series de tiempo.

 

Una vez establecido el patrón, podemos interpretarlo e integrarlo con otros datos (es decir, usarlo en nuestra teoría del fenómeno investigado, por ejemplo, los precios estacionales de las materias primas). Independientemente de la profundidad de nuestra comprensión y la validez de nuestra interpretación (teoría) del fenómeno, podemos extrapolar el patrón identificado para predecir eventos futuros.

 

En la mayoría de los datos de series de tiempo, hay dos patrones sistemáticos dominantes o componentes identificables: tendencia y estacionalidad.

 

La tendencia es el componente lineal o (más a menudo) no lineal que cambia con el tiempo y no se repite (o al menos no dentro del alcance de los datos de la muestra).

 

La estacionalidad, por otra parte, se repite en un intervalo sistemático con el tiempo.

 

La tendencia y la estacionalidad pueden existir simultáneamente en datos en tiempo real. Por ejemplo, las ventas de una empresa de un determinado producto de consumo pueden experimentar variación entre los meses del año (por ejemplo, temporada de vacaciones), mientras que las ventas de ese mes crecen un 10% en comparación con las ventas del mismo mes del año anterior.

 

¿Suena simple? Realmente no: la presencia de irregularidades (es decir, ruido, choques e innovaciones) hace que estos componentes sean difíciles de identificar.

 

Análisis de tendencia

No hay medios automáticos para identificar un componente de tendencia, pero a medida que la tendencia es monótona (la serie de tiempo aumenta consistentemente o disminuye), un examen visual de la gráfica de la serie de datos (o la versión suavizada si los datos tienen mucho ruido) puede revelar rápidamente su presencia.

 

En el caso de que la serie temporal presenta un componente de estacionalidad, puede aplicar una función de suavización media móvil (o mediana) con un tamaño de ventana igual a la duración de un período para anular el ruido y la estacionalidad y aislar el componente de tendencia.

 

Datos de demanda mensual de electricidad residencial

 

La tendencia aquí se supone que es determinista; en otras palabras, sigue una relación fija con el tiempo. La serie temporal puede tener una tendencia estocástica, en cuyo caso no puede capturarse con una función de suavizado simple. Nosotros discutiremos esto más adelante.

 

Estacionalidad Vs. Ciclo

A menudo, utilizamos el término estacionalidad (o periodicidad) cuando la serie temporal presenta un patrón que se repite. El patrón se puede detectar visualmente en el gráfico de la serie temporal, a menos que los datos tengan mucho ruido.

 

En esta discusión, necesitamos hacer otra distinción en dos tipos de periodicidad:

  • Determinística (Estacionalidad): Un patrón estacional existe cuando es influenciado por factores estacionales (por ejemplo. Trimestre del año, el mes, día de la semana).La estacionalidad es un período fijo y conocido. Es por eso que a menudo lo llamamos una serie de tiempo "periódica"
  • Estocástico (Cyclic) Existe un patrón cuando los datos muestran aumentos y caídas que no se fijan durante un período (estocástico). La duración de un período suele ser de varios años, pero la duración no se conoce con antelación. El ciclo económico se utiliza a menudo en la literatura de econometría como ejemplo de un ciclo

En adelante, asumiremos que queremos decir un tipo de estacionalidad de periodo fijo, determinístico, determinado por el calendario, siempre que utilicemos el término amplio de "estacionalidad". "Ciclo", por otro lado, se referirá a la periodicidad estocástica.

 

Estacionalidad

La dependencia estacional se define como una dependencia correlacional del orden k entre el componente i-ésimo y el componente (i + k). Si el error de medida no es demasiado grande, puede ser visible en los datos: visualmente identificados en la serie como un patrón que se repite cada k elementos.

 

La función de suavizado exponencial (por ejemplo, el suavizado exponencial triple del invierno) es adecuada para captar la estacionalidad y la tendencia determinista, pero no una serie de tiempo con ciclos (estocásticos).

 

Ciclo

Para ciclos estocásticos (es decir, periodicidad con un período no fijo o duración desconocida), podemos usar un tipo de proceso ARMA (p, q): con un orden de componente autorregresivo (p) mayor que uno (1) y condiciones adicionales en el Parámetros 'para obtener ciclicidad.

 

Por ejemplo, considere el proceso ARMA (2,q):

$$(1-\phi_1 L -\phi_2 L^2)(r_t-\mu)=(1+\sum_{i=1}^q \theta_iL^i)a_t$$

Así:

$$\phi_1\succ 0$$ $$\phi_2\prec 0$$ $$\phi_1^2+2\phi_2 \prec 0$$

Entonces la ecuación característica de AR posee una raíz compleja, y se puede representar de la siguiente manera:

$$\psi=\frac{-\phi_1\pm \sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2\phi_2}=\alpha\pm j\omega$$

La gráfica ACF de este proceso exhibe ondas de seno y coseno de amortiguación exponencial. La longitud promedio del ciclo estocástico $ k $ es:

$$k=\frac{2\pi}{cos^{-1}\left(\frac{\phi_1}{2\sqrt{-\phi_2}}\right)}$$

Estacionalidad y Ciclicidad

 

Es posible tener ambas, comportamiento cíclico y estacional en un modelo de tipo ARMA: ARIMA Estacional (conocido como SARIMA). Para el caso general, un proceso SARIMA multiplicativo $(p,d,q)\times(P,D,Q)_s$ se define como se muestra a continuación:

$$\Phi(L^s)\phi(L)(1-L^s)^D(1-L)^d y_t=\Theta(L^2)\theta(L)a_t$$ $$(1-L^s)^D(1-L)^d y_t=\frac{\Theta(L^s)}{\Phi(L^s)}\times \frac{\theta(L)}{\phi(L)}a_t$$

 

Donde

  • $s$ es la duración del período estacional (determinístico)

 

Cubriremos SARIMA con mayor detalle en futuras ediciones.

 

Nota: La ciclicidad de largo plazo no se maneja muy bien en el marco ARMA. Los modelos alternativos (no lineales) son usualmente preferidos.

Descomposición de la serie de tiempo

En general, la serie de tiempo $y_t$ Puede dividirse en dos componentes sistemáticos primarios: tendencia $T_t$ estacionalidad $S_t$, Con todo lo demás agrupado bajo "Irregulares" $I_t$ (o ruido).

 

El componente Irregulares (residuos) $I_t$ captura todas las propiedades no sistémicas (es decir, deterministas) de las series de tiempo, de modo que para mejorar nuestro pronóstico podemos modelar $I_t$ con un tipo de modelo ARMA (por ejemplo, regARIMA).


La serie temporal puede modelarse como la suma (es decir, la descomposición aditiva) o el producto (descomposición multiplicativa) de sus componentes.

Descomposición aditiva

En algunas series temporales, la amplitud de las variaciones estacionales e irregulares no cambian a medida que el nivel de la tendencia aumenta o disminuye. En tales casos, es apropiado un modelo aditivo.

 

Examinemos la formulación:

$$y_t=T_t+S_t+I_t$$

 

Para eliminar el efecto estacional (ajuste estacional) de la serie temporal:

$$\textrm{SA}_t=y_t-\hat S_t=T_t+I_t$$

Donde

  • $T_t$ es el componente de tendencia
  • $S_t$ Es el componente estimado de la estacionalidad

Nota: Bajo este modelo, los tres componentes ($S_t,T_t,I_t$) tienen las mismas unidades que la serie original.

Descomposición Multiplicativa

En muchas series de tiempo, la amplitud de ambas variaciones, estacionales e irregulares, incrementa como el nivel en que aumenta la tendencia. En esta situación, usualmente es apropiado un aumento multiplicativo.

$$y_t=S_t\times T_t\times I_t$$

 

Para eliminar el efecto estacional de los datos:

$$\textrm{SA}_t=\frac{y_t}{\hat S_t}=T_t\times I_t$$ Problema de datos de pasajeros internacionales

Nota: Bajo este modelo, la tendencia tiene las mismas unidades como las series originales, pero los componentes estacionales e irregulares son Under this model, the trend has the same units as the original series, but the seasonal and irregular components son factores sin unidad, distribuidos (centrados) alrededor de 1.

Decomposición Pseudo-Aditiva

El modelo multiplicativo no se puede utilizar cuando la serie de tiempo original contiene valores muy pequeños o cero. Esto es porque no es posible dividir un número por cero. En estos casos, se utiliza un modelo pseudo-aditivo que combina los elementos de los modelos aditivo y multiplicativo.

$$y_t=T_t+T_t\times (S_t-1)+T_t\times(I_t-1)=T_t\times (S+t+I_t-1)$$

 

Nota: Bajo este modelo, la tendencia tiene las mismas unidades que la serie original, pero los componentes estacionales e irregulares son factores sin unidad, distribuidos (centrados) alrededor de 1.

 

Este modelo supone que las variaciones estacionales e irregulares son dependientes del nivel de la tendencia pero independientes entre sí.

 

La serie ajustada estacionalmente se define de la siguiente manera:

$$\textrm{SA}_t=y_t-\hat T_t (\hat S_t-1)$$

Donde

  • $T_t$ es el componente de la tendencia estimada
  • $S_t$ es el componente estimado de la estacionalidad

Conclusión

En datos en serie en tiempo real, los dos patrones primarios que se observan con frecuencia son la tendencia y la estacionalidad. Además, los datos de series temporales incluyen un término de ruido o error que reúne todos los factores no sistemáticos y, como resultado, hace un poco difícil la identificación de dichos componentes. Un procedimiento de suavizado o filtrado puede ser necesario para preparar los datos para el análisis.

 

La estacionalidad se describe como un patrón determinista repetido (es decir, altibajos) impulsado principalmente por factores relacionados con el calendario (por ejemplo, día de la semana, mes del año, vacaciones, etc.). La ciclicidad, por otra parte, es estocástica por naturaleza y no tiene un período fijo o conocido.

 

En resumen, una serie temporal dada puede ser vista como una composición de una o más series primitivas (sistemáticas (es decir, determinísticas) o estocásticas).

 

Existen dos tipos distintos de modelos de descomposición: aditivo y multiplicativo. La decisión de qué modelo utilizar dependerá de la amplitud de las variaciones tanto estacionales como irregulares. Si no cambian como el nivel en que aumenta la tendencia, entonces la descomposición aditiva está en orden; de lo contrario se utiliza una multiplicativa. La descomposición multiplicativa se encuentra en la mayoría de las series temporales.

 

Este tema pretende servir como un ejercicio preliminar para la descomposición de las series temporales y el ajuste estacional de series temporales.

Archivos adjuntos

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