¿Cómo comprobar cuándo una serie de tiempo dada es sólo "ruido blanco"?

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En un sentido estadístico, una serie de tiempo {$x_t$} se caracteriza por tener una débil prueba blanca en Excel (ruido blanco) si {$x_t$} es una secuencia de variables aleatorias no correlacionadas con una media de cero y una varianza finita. Un fuerte ruido blanco también goza de la cualidad de ser distribuido independientemente e idénticamente lo cual no implica una auto-correlación.

En particular, si $x_t$ es distribuido normalmente con una media de cero y desviación estándar $\sigma$, la serie se llama ¨Un ruido blanco Gaussiano¨ (prueba blanca en Excel).

Prueba estadística

Para examinar las series de datos en busca de evidencia de cualquier correlación serial usamos la prueba estadística Ljung‐Box y las estadísticas modificadas $Q^*(m)$.

La prueba Ljung‐Box:

$$H_o:\rho_1=\rho_2=\rho_3=...=\rho_m=0$$ $$H_1:\exists \rho_{1\leqslant k\leq m} \neq 0$$

Donde:

  • $H_o$: Hipótesis Nula  (ruido blanco)
  • $H_1$: Hipótesis alternativa (no ruido blanco)
  • $m$: Límite de retraso superior de la prueba. El límite de retraso superior puede o ser establecido por nosotros o dejado allí para que la función elija un límite apropiado. Los profesionales usan $\ln{T}$ como un valor apropiado para $m$ .

Estadísticas Ljung‐Box

Las estadísticas Ljung‐Box (i.e. $Q^*(m)$) son una mejora en la prueba clásica $\chi^2$ especialmente para muestras de pequeño tamaño.

$$Q^*(m)=T(T+2)\sum_{j=1}^m{\frac{\rho_j^2}{T-j}}$$ $$Q^*(m)\sim \chi_{\nu=m}^2$$

Esta es una prueba estadística unilateral, un valor p mayor que el nivel de importancia ($\alpha$) nos lleva a no rechazar la hipótesis nula o, en otras palabras, la serie de tiempo es una prueba blanca en Excel (ruido blanco).

Prueba Blanca (ruido blanco)

La función de prueba blanca (rudio blanco) en NumXL calcula el valor P para la estadística $Q^*(m)$ para nuestros datos de muestra. El límite de retraso superior ( m ) está establecido como estándar para $\ln{T}$, pero el usuario puede ignorar este valor asignando un valor para este parámetro

Ejemplo: Usando la forma de estadística descriptiva de NumXL, hemos calculado el resumen de las varias estadísticas y hemos ejecutado la prueba Ljung-Box de ruido blanco (PruebaWN) entre otras.

El resumen estadístico y las pruebas:

El valor P de la prueba de ruido blanco de Ljung-Box (prueba blanca en Excel) es mayor que el nivel de importancia (i.e. $\alpha$), así que no rechazamos la hipótesis de ruido blanco ($H_o$), o, para decirlo más simple; no existe evidencia estadística de una correlación serial de manera que los datos pueden ser ruido blanco.

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