Libro de recetas de NumXL - Pronóstico de volatilidad con GARCH

GARCH volatility forecast with NumXL

¿Cuál es el significado de volatilidad? Primero que todo, la volatilidad o desviación estándar es una medida importante del riesgo de mercado. Segundo, se utiliza con frecuencia para tasar instrumentos derivados (e.g. opciones)

En este ensayo, demostraremos los pocos pasos requeridos para convertir los datos del índice de mercado S&P 500 en un robusto pronóstico de volatilidad usando el NumXL Add-in dentro de Microsoft Excel

Para nuestro propósito, estamos usando los precios S&P 500 ETF (aka SPDR) como un representante del mercado americano de acciones de gran capitalización. Además. estamos usando los precios mensuales (tabulados al comienzo del mes) oscilando desde enero de 2000 a febrero de 2012.

El objetivo aquí es construir un pronóstico de volatilidad de los próximos 12 meses basado en modelos (i.e., hasta el final de febrero de 2013).

Paso 1: Retornos mensuales

La serie de tiempo de los precios SPDR no es estacionaria y, por consiguiente, no es apta para muchas series de tiempo o análisis econométricos. Por lo tanto, primero la convertimos en retornos mensuales. Además, escogimos los retornos logarítmicos sobre los retornos simples para extender los valores de las series de tiempo, pues los retornos simples -por definición, no pueden ser menores que menos 1.

En la siguiente gráfica trazamos el promedio de ponderado móvil de 12 meses (WMA, por sus siglas en inglés) y las series de tiempo de volatilidad exponencial ponderada (EWMA, por sus siglas en inglés) para demostrar la variación de la media y la volatilidad a lo largo del tiempo.

Por favor, notemos que el pronóstico de volatilidad (representado por EWMA) se mueve suavemente (a diferencia de los retornos), pero es más sensitivo a los retornos negativos que a los retornos positivos de mercado.

Paso 2: Resumen estadístico

Ahora calculemos las estadísticas descriptivas de la muestra mensual de retornos: promedio, desviación estándar, etc. para que entendamos mejor los datos. Las funciones construidas en NumXL pueden utilizarse como se muestran aquí, para generar un grupo de estadísticas que resuman las pasadas tendencias de mercado.

Usando el asistente de resumen estadístico, introduzca el conjunto de datos de entrada (e.g., celdas de rango de retorno en la columna H) en la pestaña de ¨Series de tiempo¨, la celda de inicio en el rango de rendimiento, y luego teclee OK.

La tabla generada se muestra a continuación. Por favor, tengamos en cuenta que las celdas en la tabla están conectadas a las fuentes de datos de entrada; el resumen del asistente estadístico escribe las fórmulas para cada resultado usando las etiquetas especificadas en la primera fila de cada columna de datos.

Al examinar la tabla generada se demuestra que la distribución de los retornos retrasados exhibe un sesgo negativo (desviado hacia la izquierda) y ¨colas gruesas¨. Además, el resultado de la prueba de ruido blanco indica la ausencia de cualquier correlación serial significativa entre los retornos. En suma, estos resultados indican que dichos datos pueden ser bien representados por el modelo GARCH.

Paso 3: Modelado E-GARCH

En etapas tempranas, notamos que el pronóstico de volatilidad (representado con EWMA) reaccionó de forma distinta con los retornos negativos (recesión) que con los positivos. Afortunadamente el exponencial GARCH (E-GARCH) captura este fenómeno.

NumXL apoya los tres (3) tipos de distribuciones para los residuales: (1) Gaussiano, (2) Error de distribución generalizada (GED, por sus siglas en inglés), y (3) Distribución t de estudiantes. Los datos de muestra exhiben un exceso de curtosis relativamente bajo de manera que el modelo GARCH capturará el total exceso de curtosis, permitiendo así que los residuos se distribuyan normalmente. (i.e. Gaussiano).

Luego de introducir los datos de entrada en las series de tiempo y el resultado de las celdas de rango, el modelo puede ser seleccionado y debe ser preparado introduciendo algunos parámetros específicos del modelo. Por favor tener en cuenta que mientras estos valores no sean revelados, un estimado crudo e inteligente debe ser introducido.

Como en el resumen estadístico, las celdas en la tabla de resultados de E-GARCH están conectadas a la fuente de datos de entrada vía fórmulas.

Paso 4: Calibrado de E-GARCH

Para encajar (i.e. calibrar) el modelo con nuestros datos de muestra: (1) debemos seleccionar la celda“EGARCH(1,1)”, (2) hacer click en el ícono de ¨calibrar¨o en el menú, y finalmente, (3) hacer click en el botón ¨resolver¨.

El ¨solucionador¨de MS Excel o ¨solver¨ maximizará la función de probabilidad de retraso (LLF) alterando los valores de los coeficientes. 

Paso 5: Diagnóstico de residuo

Una vez el modelo de coeficiente E-GARCH sea calibrado, podemos examinar los modelos estandarizados de residuos para asegurarnos de que satisfacen las conjeturas subyacentes del modelo (i.e., distribuido normalmente).

Usando la tabla diagnóstica de residuos, notaremos que las pruebas pasan con la única excepción de la prueba ARCH que sugiere la presencia de un orden superior (i.e. cuadrático) de dependencia. Para el propósito de este ensayo, aceptaremos el modelo calibrado.

La familia de modelos GARCH captura un fenómeno común e importante de volatilidad: la reversión media. Usando nuestro modelo E-GARCH, se estima una volatilidad mensual a largo plazo de 4.66% (o 16.14% anualmente).

Paso 6: Pronóstico de volatilidad

La familia de modelos GARCH describe la variación de volatilidad de un paso (i.e., local) a lo largo del tiempo pero, en la práctica, necesitamos valores de volatilidad que alcancen múltiples pasos (i.e., global o periódica). En este ensayo, prepararemos ambas volatilidades, local y periódica, para los próximos 12 meses.

Para conseguirlo debemos, (1) seleccionar la celda llamada “EGARCH(1,1)” (2) hacer click en el ícono de ¨Pronóstico¨ o en el menú, (3) seleccionar los últimos retornos y (4) volatilidades, (5) cambiar el horizonte de pronóstico y (6) especificar la locación del resultado. Finalmente, seleccionamos “OK.”.

Notas

  1. 1. Los datos de entrada deben representar las observaciones más recientes. Para el modelo E-GARCH (1, 1) se requieren al menos uno o dos retornos observados.
  2. 2. El pronóstico de volatilidad alcanzado (en datos de entrada) es la volatilidad más reciente. Como la volatilidad no se observa directamente, necesitaríamos calcularla usando nuestro método favorito. En este ejemplo utlilizamos la desviación estándar de la ventana del mes 12.

La tabla que arroja el proníóstico de NumXL es:

El modelo E- GARCH expone que actualmente estamos en un estadio del histórico de baja volatiidad y pronostica un alza (reversión de la media) en la volatilidad general en el largo plazo (4.66% /mensual. O 16.14%/ anual.).

De manera más específica, estos resultados indican que para el mes de febrero-2012 (i.e., terminando en marzo 1o., 2012) pronosticamos una volatilidad menor que en enero de 2012 porque el valor es menos del básico a largo plazo: 4.66%. Sin embargo, se espera que esta volatilidad crezca en marzo cuando vuelva a su media de largo plazo: 4.66%.

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