Modelo estacional autorregresivo integrado de media móvil exógena (SARIMAX)

En principio, un modelo SARIMAX es un modelo de regresión lineal que utiliza un proceso de tipo SARIMA, es decir este modelo es útil en los casos donde sospechamos que los residuos pueden exhibir una tendencia estacional o patrón.


$$w_t = y_t - \beta_1 x_{1,t}-\beta_2 x_{2,t} - \cdots - \beta_b x_{b,t}$$ $$(1-\sum_{i=1}^p {\phi_i L^i})(1-\sum_{j=1}^P {\Phi_j L^{j \times s}})(1-L)^d (1-L^s)^D w_t -\eta = (1+\sum_{i=1}^q {\theta_i L^i})(1+\sum_{j=1}^Q {\Theta_j L^{j \times s}}) a_t$$ $$a_t \sim \textrm{i.i.d} \sim \Phi(0,\sigma^2)$$

Donde:

  • $L$ es el operador de rezago (mejor conocido como back-shift).
  • $y_t$ es la salida observada en el tiempo t.
  • $x_{k,t}$ es la variable de entrada exógena k-ésimo en el tiempo t.
  • $\beta_k$ es el valor del coeficiente de la variable de entrada k-ésima exógena (explicativa).
  • $b$ el el número de variables de entradas exógenas.
  • $w_t$ son los residuos de la regresión de auto-correlación.
  • $p$ es el orden del componente AR no estacional.
  • $P$ es el orden del componente RA estacional.
  • $q$ es el orden del componente MA no estacional.
  • $Q$ es el orden del componente estacional MA.
  • $s$ es la duarción de la estacionalidad.
  • $D$ es el orden de integración de estacionalidad de la series de tiempo.
  • $\eta$ es una constante en el modelo SARIMA
  • $a_t$ es la innovación, shock o término de error en el tiempo t.
  • $\{a_t\}$ las observaciones de series de tiempo son independientes e idénticamente distribuidos (es decir i.i.d) y siguen una distribución de Gauss (i.e. $\Phi(0,\sigma^2)$)

Reordenar los términos de la ecuación anterior y asume los resultados diferenciados (tanto estacionales y no estacionales) en una serie de tiempo estacionaria ($z_t$) se obtiene lo siguiente:

$$z_t = (1-L)^d(1-L^s)^D w_t$$ $$\mu = E[z_t] = \frac{\eta}{(1-\phi_1-\phi_2-\cdots-\phi_p)(1-\Phi_1-\Phi_2-\cdots-\Phi_P)}$$ $$(1-\sum_{i=1}^p {\phi_i L^i})(1-\sum_{j=1}^P {\Phi_j L^{j \times s}})(1-L)^d (1-L^s)^D (w_t -\mu) = (1+\sum_{i=1}^q {\theta_i L^i})(1+\sum_{j=1}^Q {\Theta_j L^{j \times s}}) a_t$$

 

Notas

  1. La varianza de los choques es constante o invariable en el tiempo.
  2. El orden de un proceso de componente AR está determinado únicamente por el orden de la última variable con rezago auto-regresivo quedado con un coeficiente distinto de cero (i.e. $w_{t-p}$).
  3. El orden de un proceso de componente MA está determinado únicamente por el orden del última variable con promedio móvil con un coeficiente distinto de cero (i.e. $a_{t-q}$).
  4. En principio, puede tener menos parámetros que las órdenes del modelo.

 

Referencias

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