Media Móvil Autorregresiva con Modelos de insumos exógenos (ARMAX)

En principio, un modelo ARMAX es una regresión lineal que utiliza un tipo de proceso ARMA (es decir. $w_t$ ) para modelos residuales: $$ y_t = \alpha_o + \beta_1 x_{1,t} + \beta_2 x_{2,t} + \cdots + \beta_b x_{b,t} + w_t$$ $$(1-\phi_1 L - \phi_2L^2-\cdots-\phi_pL^p)(y_t-\alpha_o -\beta_1 x_{1,t} - \beta_2 x_{2,t} - \cdots - \beta_b x_{b,t})=(1+ \theta_1 L + \theta_2 L^2 + \cdots + \theta_q L^q)a_t$$ $$(1-\phi_1 L - \phi_2 L^2 - \cdots - \phi_p L^p)w_t=(1+\theta_1 L+ \theta_2 L^2 + \cdots + \theta_q L^q ) a_t$$ $$a_t \sim i.i.d \sim \Phi (0,\sigma^2)$$

Donde:

• L es el operador de rezago (también conocido como back-shift).
• $y_t$ es la salida observada en el tiempo t.
• $x_{k,t}$ es la variable k-ésima en el tiempo t.
• $\beta_k$ es el valor del coeficiente para la k-ésima variable de entrada explicativa.
• b es el número de variables de entrada exógenas.
• $w_t$ son los residuales de regresión autocorrelacinados.
• p es el orden de las últimas variables rezagadas.
• q es el orden del último cambio rezagado o choque.
• $a_t$ es el cambio (innovation), choque o terminos de error en el tiempo t.
• $\{a_t\}$ observaciones de series de tiempo son independientes e idénticamente distribuidas (es decir, i.i.d) y seguidas de una distribución Gaussian (es decir. $\Phi(0,\sigma^2$))

Asumiendo $y_t$ y todas las variables de entrada exógenos son estacionarios, asi a continuación, teniendo la expectativa de ambos lados, nosotros podemos expresar $\alpha_o$ como sigue: $$\alpha_o = \mu - \sum_{i=1}^b {\beta_i E[x_i] }= \mu - \sum_{i=1}^b {\beta_i \bar{x_i} }$$ $\bar x_k$ es el promedio de largo plazo de las variable i-ésima de entrada.

En el evento que $y_t$ es no estacionario, entonces uno debe verificar que: (a) una o más variables en $\{x_1,x_2,\cdots,x_b\}$ no es estacional y (b) las variables de series de tiempo $\{y, x_1,x_2,\cdots,x_b\}$ son cointegrados, entonces es por lo menos al último combinación lineal de aquellas variables que produce un proceso estacionario (es decir, ARMA).

Notas