Modelo Exponencial General Autorregresivo Condicional Heterosedástico (EGARCH)

La heterosedasticidad exponencial general autorregresiva condicional (EGARCH) es otra forma del modelo GARCH. El modelo E-GARCH fue propuesto por Nelson (1991) para superar la debilidad de GARCH en el manejo de series de tiempo financieras. En particular, para permitir efectos asimétricos entre rendimientos positivos y negativos de los activos.

Formalmente, un E-GARCH(p,q): $$x_t = \mu + a_t$$ $$\ln\sigma_t^2 = \alpha_o + \sum_{i=1}^p {\alpha_i \left(\left|\epsilon_{t-i}\right|+\gamma_i\epsilon_{t-i}\right )}+\sum_{j=1}^q{\beta_j \ln\sigma_{t-j}^2}$$ $$a_t = \sigma_t \times \epsilon_t$$ $$\epsilon_t \sim P_{\nu}(0,1)$$ Donde:

• $x_t$ es el valor de las series de tiemoi en el tiempo t.
• $\mu$ es la media del modelo GARCH.
• $a_t$ es el modelo residual en el tiempo t.
• $\sigma_t$ es la desviación estándar condicional (es decir, volatilidad) en el tiempo t.
• p es el orden del componente del modelo ARCH.
• $\alpha_o,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ son los parámetros del modelo de componente ARCH.
• q es el orden del modelo de componente GARCH.
• $\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$ son los parámetros del modelo de componente GARCH.
• $\left[\epsilon_t\right]$ son los residuos estandarizados: $\left[\epsilon_t \right] \sim i.i.d $$E\left[\epsilon_t\right]=0$$ $$\mathit{VAR}\left[\epsilon_t\right]=1$$
• $P_{\nu}$ es la función de distribución de probabilidad para $\epsilon_t.$ En la actualidad, las siguientes distribuciones son compatibles:
  1. Distribución Normal $P_{\nu} = N(0,1)$
  2. Distribución t de Student $P_{\nu} = t_{\nu}(0,1)$ $nu \gt 4$
  3. Distribución de Error Generalizado (GED) $P_{\nu} = \mathit{GED}_{\nu}(0,1)$ $\nu \gt 1$

1. El modelo E-GARCH difiere de GARCH de muchas maneras. Por ejemplo, usa las varianzas condicionales registradas para relajar la restricción de positividad de los coeficientes del modelo
2. E-GARCH(p,q) modelo de innovación distribuida normal tiene 2p + q + 2 parámetros estimados
3. E-GARCH(p,q) modelo GED o innovación distribuida de t de Student tiene 2p + q + 3 parámetros estimados