Modelo GARCH-M

En las finanzas, el retorno de un valor puede depender de su volatilidad (riesgo). Para modelar este tipo de fenómenos, el modelo (GARCH-Mi) Garch-en-media añade un término de heterocedasticidad en la ecuación de la media. Tiene la especificación:

  1. El modelo GARCH-M (p,q) es:
    $$x_t = \mu + \lambda \sigma_t + a_t$$ 
    $$\sigma_t^2 = \alpha_o + \sum_{i=1}^p {\alpha_i a_{t-i}^2}+\sum_{j=1}^q{\beta_j \sigma_{t-j}^2}$$ 
    $$ a_t = \sigma_t \times \epsilon_t$$ 
    $$ \epsilon_t \sim P_{\nu}(0,1)$$ 
    Donde:
    • $x_t$ es el valor de las series de tiempo en el tiempo t.
    • $\mu$ es la media del modelo GARCH.
    • $\lambda$ es el coeficiente de volatilidad para la media.
    • $a_t$ es residual del modelo en el tiempo t.
    • $\sigma_t$ es la desviación estándar condicional (es decir, la volatilidad) en el tiempo t.
    • $p$ es el orden del modelo de componente ARCH.
    • $\alpha_o,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ son los parámetros del modelo de componentes ARCH.
    • $q$ es el fin del modelo de componentes GARCH.
    • $\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$ son los parámetros del modelo de componentes GARCH.
    • $\left[\epsilon_t\right]$ son los residuos estandarizados:
      $$ \left[\epsilon_t \right]\sim i.i.d$$ 
      $$ E\left[\epsilon_t\right]=0$$ 
      $$ \mathit{VAR}\left[\epsilon_t\right]=1$$ 
    • $P_{\nu}$ es la función de distribución de probabilidad para $\epsilon_t$. En la actualidad, son compatibles las siguientes distribuciones:
      1. Distribución Normal
        $$P_{\nu} = N(0,1) $$
      2. Distribución t de Student's
        $$P_{\nu} = t_{\nu}(0,1) $$
        $$\nu \gt 4 $$
      3. Distribución de Error Generalizado (GED)
        $$P_{\nu} = \mathit{GED}_{\nu}(0,1) $$ 
        $$\nu \gt 1 $$

Notas

  • GARCH-M(p,q) modelo con innovation de distribucion normal tiene p+q+3 parámetros estimados
  • GARCH-M(p,q) modelo con onnovation with GED or student's t-distributed innovation has p+q+4 estimated parameters
  • Una prima de riesgo positivo (es decir $\lambda$) indica que las series de datos se relaciona positivamente con su volatilidad
  • Además, el modelo GARCH-M implica que hay correlaciones de serie en la serie de datos por si misma los cuales fueron introducidos por los de la volatilidad $\sigma_t^2$ process.
  • La mera existencia de la prima de riesgo es, por lo tanto, otra razón por la que algunas acciones históricas de los rendimientos históricos muestran correlaciones de series.

Referencias

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