Modelo GARCH-M

En las finanzas, el retorno de un valor puede depender de su volatilidad (riesgo). Para modelar este tipo de fenómenos, el modelo (GARCH-Mi) Garch-en-media añade un término de heterocedasticidad en la ecuación de la media. Tiene la especificación:

1. El modelo GARCH-M (p,q) es:
   $$x_t = \mu + \lambda \sigma_t + a_t$$
   $$\sigma_t^2 = \alpha_o + \sum_{i=1}^p {\alpha_i a_{t-i}^2}+\sum_{j=1}^q{\beta_j \sigma_{t-j}^2}$$
   $$ a_t = \sigma_t \times \epsilon_t$$
   $$ \epsilon_t \sim P_{\nu}(0,1)$$
   Donde:
   
   • $x_t$ es el valor de las series de tiempo en el tiempo t.
   • $\mu$ es la media del modelo GARCH.
   • $\lambda$ es el coeficiente de volatilidad para la media.
   • $a_t$ es residual del modelo en el tiempo t.
   • $\sigma_t$ es la desviación estándar condicional (es decir, la volatilidad) en el tiempo t.
   • $p$ es el orden del modelo de componente ARCH.
   • $\alpha_o,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ son los parámetros del modelo de componentes ARCH.
   • $q$ es el fin del modelo de componentes GARCH.
   • $\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$ son los parámetros del modelo de componentes GARCH.
   • $\left[\epsilon_t\right]$ son los residuos estandarizados:
     $$ \left[\epsilon_t \right]\sim i.i.d$$
     $$ E\left[\epsilon_t\right]=0$$
     $$ \mathit{VAR}\left[\epsilon_t\right]=1$$
   • $P_{\nu}$ es la función de distribución de probabilidad para $\epsilon_t$. En la actualidad, son compatibles las siguientes distribuciones:
     
     1. Distribución Normal
        $$P_{\nu} = N(0,1) $$
     2. Distribución t de Student's
        $$P_{\nu} = t_{\nu}(0,1) $$
        $$\nu \gt 4 $$
     3. Distribución de Error Generalizado (GED)
        $$P_{\nu} = \mathit{GED}_{\nu}(0,1) $$
        $$\nu \gt 1 $$

Notas