Promedio Movil Autorregresivo Integrado Integrado Estacional

El modelo SARIMA es una extensión del modelo ARIMA, que se utiliza frecuentemente cuando sospechamos que un modelo puede tener un efecto estacional.

Por definición,el proceso autorregresivo estacional integrados de media móvil - SARIMA (p,d,q)(P,D,Q)s - es un proceso multiplicativo de dos procesos ARMA de la serie de tiempo diferenciada.

$$(1-\sum_{i=1}^p {\phi_i L^i})(1-\sum_{j=1}^P {\Phi_j L^{j \times s}})(1-L)^d (1-L^s)^D x_t = (1+\sum_{i=1}^q {\theta_i L^i})(1+\sum_{j=1}^Q {\Theta_j L^{j \times s}}) a_t$$
$$y_t = (1-L)^d (1-L^s)^D $$

Donde:

  • $x_t$ es la salida original no estacional en el tiempo t.
  • $y_y$ es la salida diferenciada (estacional)en el tiempo t.
  • $d$ es el orden de integración no estacional de las series temporales.
  • $p$ es el orden del componente AR no estacional.
  • $P$ es el orden del componente AR no estacional.
  • $q$ is the order of the non-seasonal MA component.
  • $Q$ es el orden del componente MA estacional.
  • $s$ es la duración de la estcionalidad
  • $D$ es el orden de integración de las series de tiempo esatcionales.
  • $a_t$ es la innonvation, choque o término de error en el tiempo t.
  • $\{a_t\}$ las series de tiempo son independientes e identicamente distribuidas (es ecir i.i.d) y siguen una distribución de Gauss. (i.e. $\Phi(0,\sigma^2)$)

Asumiendo $y_t$ sigue un proceso estacional con una media a largo plazo de $\mu$, entonces teniendo la expectativa de ambos lados, podemos expresarlo $\phi_o$ de la siguiente manera:
$$\phi_o = (1-\phi_1-\phi_2-\cdots-\phi_p)(1-\Phi_1-\Phi_2-\cdots-\Phi_P)$$

Entonces, el proceso SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s pueden ahora ser expresado como:
$$(1-\sum_{i=1}^p {\phi_i L^i})(1-\sum_{j=1}^P {\Phi_j L^{j \times s}}) (y_t -\mu) = (1+\sum_{i=1}^q {\theta_i L^i})(1+\sum_{j=1}^Q {\Theta_j L^{j \times s}}) a_t$$
$$z_t=y_t-\mu$$
$$(1-\sum_{i=1}^p {\phi_i L^i})(1-\sum_{j=1}^P {\Phi_j L^{j \times s}}) z_t = (1+\sum_{i=1}^q {\theta_i L^i})(1+\sum_{j=1}^Q {\Theta_j L^{j \times s}}) a_t$$

En Resumen, $z_t$ es la senal diferenciada despues que restamos su promedio a largo plazo.

Notas: El orden del componente AR estacional o no estacional (o MA) está determinado únicamente por el orden de la última variable rezagada con un coeficiente distinto a cero. En principio, Usted puede tener menos parámetros que el orden del componente.

 

Notas

  1. La varianza de los choques es constante o invariante en el tiempo.
  2. El orden del componente RA estacional o no estacional (o MA) está determinado únicamente por el oden de la última variable rezagada con un coeficiente distinto de cero. En principio, se puede tener un menor número de parámetros que el orden de los componentes.

    Ejemplo: Considere el siguiente proceso SARIMA(0,1,1)(0,1,1)12:

    $$(1-L)(1-L^{12})x_t-\mu = (1+\theta L)(1+\Theta L^{12})a_t$$

    Note: Este es el modelo AIRLINE, un caso especial del modelo SARIMA.

 

Referencias

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