Modelo de media móvil auto regresiva (ARMA)

Por definición, la media móvil autorregresiva (ARMA) es un proceso estocástico estacionario compuesto por sumas de Excel autorregresivas y componentes de media móvil.

Alternativamente, en una simple formulación de un ARMA(p,q):$$ x_t -\phi_o - \phi_1 x_{t-1}-\phi_2 x_{t-2}-\cdots -\phi_p x_{t-p}=a_t + \theta_1 a_{t-1} + \theta_2 a_{t-2} + \cdots + \theta_q a_{t-q}$$

donde:

• $x_t$ es una salida observada en el tiempo t.
• $a_t$ es el cambio o innovation, choque o término de error en el tiempo t.
• p es el orden de las últimas variables rezagadas.
• q es el orden del último cambio (innovation) de rezago o choque.
• $\{a_t\}$ observaciones de series de tiempo son independientes e idénticamente distribuida (es decir i.i.d) y siguen una distribución gaussiana (es decir $\Phi(0,\sigma^2$))

Utilizando anotaciones de desplazamiento de cambio hacia atrás (es decir. L), podemos expresar el proceso ARMA de la siguiente manera:$$ (1-\phi_1 L - \phi_2 L^2 -\cdots - \phi_p L^p) x_t - \phi_o= (1+\theta_1 L+\theta_2 L^2 + \cdots + \theta_q L^q)a_t$$

Asumiendo y_t es estacionaria con una media a largo plazo de\mu, luego, teniendo la expectativa de ambos lados, podemos expresar\phi_o de la siguiente manera: $$ \phi_o = (1-\phi_1 -\phi_2 - \cdots - \phi_p)\mu $$

Así, el proceso ARMA (p,q) que ahora puede ser expresado como $$ (1-\phi_1 L - \phi_2 L^2 -\cdots - \phi_p L^p) (x_t - \mu)= (1+\theta_1 L+\theta_2 L^2 + \cdots + \theta_q L^q)a_t $$ $$z_t = x_t - \mu$$ $$(1-\phi_1 L - \phi_2 L^2 -\cdots - \phi_p L^p) z_t = (1+\theta_1 L+\theta_2 L^2 + \cdots + \theta_q L^q)a_t$$ En resumen, $z_t$ es la señal original después que restamos su media a largo plazo.

Notas