Modelo de media móvil auto regresiva (ARMA)

Por definición, la media móvil autorregresiva (ARMA) es un proceso estocástico estacionario compuesto por sumas de Excel autorregresivas y componentes de media móvil.

Alternativamente, en una simple formulación de un ARMA(p,q):$$ x_t -\phi_o - \phi_1 x_{t-1}-\phi_2 x_{t-2}-\cdots -\phi_p x_{t-p}=a_t + \theta_1 a_{t-1} + \theta_2 a_{t-2} + \cdots + \theta_q a_{t-q}$$

donde:

  • x_t es una salida observada en el tiempo t.
  • a_t es el cambio o innovation, choque o término de error en el tiempo t.
  • p es el orden de las últimas variables rezagadas.
  • q es el orden del último cambio (innovation) de rezago o choque.
  • $\{a_t\}$ observaciones de series de tiempo son independientes e idénticamente distribuida (es decir i.i.d) y siguen una distribución gaussiana (es decir $\Phi(0,\sigma^2$))

Utilizando anotaciones de desplazamiento de cambio hacia atrás (es decir. L), podemos expresar el proceso ARMA de la siguiente manera:$$ (1-\phi_1 L - \phi_2 L^2 -\cdots - \phi_p L^p) x_t - \phi_o= (1+\theta_1 L+\theta_2 L^2 + \cdots + \theta_q L^q)a_t$$

Asumiendo y_t es estacionaria con una media a largo plazo de\mu, luego, teniendo la expectativa de ambos lados, podemos expresar\phi_o de la siguiente manera: $$ \phi_o = (1-\phi_1 -\phi_2 - \cdots - \phi_p)\mu $$

Así, el proceso ARMA (p,q) que ahora puede ser expresado como $$ (1-\phi_1 L - \phi_2 L^2 -\cdots - \phi_p L^p) (x_t - \mu)= (1+\theta_1 L+\theta_2 L^2 + \cdots + \theta_q L^q)a_t $$ $$z_t = x_t - \mu$$ $$(1-\phi_1 L - \phi_2 L^2 -\cdots - \phi_p L^p) z_t = (1+\theta_1 L+\theta_2 L^2 + \cdots + \theta_q L^q)a_t$$ En resumen, $z_t$ es la señal original después que restamos su media a largo plazo.

Notas

  1. La varianza de los choques es constante o invariable en el tiempo.
  2. El orden de un componente AR es solamente determinado por el orden de la última variable rezagada autorregresiva con un coeficeinte distinto de cero. (es decir. $w_{t-p}$).
  3. La orden de un proceso de componente MA es determinada exclusivamente por la orden de la última variable promedio móvil con un coeficiente distinto de cero (es decir $a_{t-q}$).
  4. En principio, usted puede tener menos parámetros que las ordenes del modelo.

    Ejemplo: Considera el siguiente proceso ARMA(12,2): $$(1-\phi_1 L -\phi_{12} L^{12} )(y_t - \mu) = (1+\theta L^2)a_t$$

 

Referencias

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