BOXCOX - Transformada de Box-Cox

Devuelve la transformación Box-Cox de los puntos de entrada de datos.

Sintaxis

BOXCOX(X, Lo, Hi, $\lambda$, Retorno)

X

es el(los) valor(es) real(es) para el(los) cual(es) calculamos la transformación de un solo valor o una matriz unidimensional de celdas (por ejemplo, filas o columnas)).

Lo

es el límite inferior del dominio x. Si falta, se supone que Lo es 0.

Hi

es el límite superior del dominio x. Si falta, se supone que Hi es infinito.

$\lambda$

es el parámetro de potencia de entrada de la transformación (\lambda\in\left[0,1\right)). Si se omite, se asume 0 como valor por defecto.

Retorno

es un número que determina el tipo de valor a devolver: 0 (o faltante) = Box-Cox, 1 = Box-Cox Inverso, 2 = LLF de Box-Cox.

Retorno	Descripción
0 u omitido	Transformación Box-Cox
1	Transformación Inversa de Box-Cox
2	LLF de Transformación Box-Cox

Observaciones

1. La transformación BOXCOX() convierte un dominio de un sólo límite (por ejemplo, $x\in(a,\infty)$, $x\in(-\infty, b)$) en un dominio ilimitado $(-\infty,\infty)$.
2. Si se dan los dos valores de los argumentos Lo y Hi, BOXCOX() devuelve #¡VALOR!.
3. La transformación Box-Cox es percibida como un dato útil antes de la técnica de pre-procesamiento para estabilizar la varianza y hacer los datos normalmente ditribuidos.
4. La transformación Box-Cox se define de la siguiente manera:
   $$ T\left ( x_{t}; \lambda, \alpha \right ) = \begin{cases} \dfrac{\left ( x_{t} + \alpha \right )^{\lambda}-1}{\lambda} & \text{ if } \lambda \neq 0 \\ \log \left ( x_t + \alpha \right ) & \text{ if } \lambda= 0 \end{cases} $$ Donde:
   
   • $x_{t}$ es el valor de las entrada de series de tiempo en el tiempo $t$.
   • $\lambda$ es la entrada del valor escalar de la transformación Box-Cox.
   • $\alpha$ es el párametro de desplazamiento.
   • $\left(x_t +\alpha \right) \gt 0$ para todos los valores de $t$.
5. Usando los valores negativos de \{x_t\},podemos usar la transformación de Box-Cox para un dominio con un límite superior.
   $$F(x_t;\lambda,b)=\begin{matrix}\frac{(b-x)^\lambda-1}{\lambda}&\lambda\neq0\\\ln{(b-x_t)}&\lambda=0\\\end{matrix}$$
6. Para calcular la inversa de la transformada de BoxCox:
   • Dominio con límite inferior (a):
     $$x=a+e^\frac{\ln{(\lambda y+1)}}{\lambda}$$
   • Dominio con límite superior (b):
     $$x=b-e^\frac{\ln{(\lambda y+1)}}{\lambda}$$
7. Para calcular la función de log-verosimilitud (LLF), la función BOXCOX asumes una distribución Gaussiana que parametros ($\mu,\sigma^2$) son calculados usando el método de máxima verosimilitud estimada (MLE).
   $$LLF_{\textit{BoxCox}} = \frac{-N}{2}\times( \ln( 2\pi\hat{\sigma}^2)+1)$$ $$\hat{\sigma}^2=\frac{\sum_{t=1}^N{(y_t-\mu)^2}}{N}$$ Donde:
   • $\hat{\sigma}^2$ es la estimación parcial de la varianza.
   • $N$ es el número valores no faltantes en los datos de la muestra.
   • $y_t$ es la t -ésima observación transformada.

Ejemplos

Ejemplo 1:

Enlaces Relacionados

• Wikipedia - Transformación Box-Cox
• Wikipedia - Máxima verosimilitud

Referencias

• Box, George E. P.; Cox, D. R. (1964). "An analysis of transformations". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 26 (2): 211–252. JSTOR 2984418.
• Sakia, R. M. (1992), "The Box–Cox transformation technique: a review", The Statistician, 41 (2): 169–178.