Modelo de media móvil integrada autoregresiva (ARIMA)

El modelo ARIMA es una extensión del modelo ARMA que se aplica a series de tiempo no-estacionales (la clase de series de tiempo con una o más raíces unintarias integradas. Por definición, el proceso promedio móvil autorregresivo integrado (ARIMA) es un proceso ARMA para las series de timepo diferenciadas:


$$(1-\phi_1 L - \phi_2 L^2 -\cdots - \phi_p L^p)(1-L)^d x_t - \phi_o= (1+\theta_1 L+\theta_2 L^2 + \cdots + \theta_q L^q)a_t$$

$$y_t = (1-L)^d x_t$$


Donde:

  • $x_t$ es la salida original no estacional en el momento t.
  • $y_t$ es la salilda diferenciada (estacional) observada en el momento t.
  • $d$ es el orden de integración de la series de tiempo.
  • $a_t$ es el cambio o innovation, choque o término de error en el tiempo t.
  • $p$ es el orden de la última variable rezagada (lagged).
  • $q$ es el orden del último cambio de rezago o choque.
  • $a_t$ las observaciones de las series de tiempo son independientes e idénticamente distribuídas (es decir, i.i.d) y siguen una distribución Gaussianna (es decir, $\Phi(0,\sigma^2)$)

 

Notas

  1. La varianza de los choques es constante o invariante en el tiempo.
  2. Asumiendo $y_t (i.e (1-L)^d x_t)$ es un proceso estacionario con una media a largo plazo $\mu$, entonces teniendo la expectativa de ambos lados podemos expresar $\phi_o$ de la siguiente manera:

    $$\phi_o = (1-\phi_1-\phi_2-\cdots -\phi_p)\mu$$
  3. Así, el proceso ARIMA(p,d,q) puede ser expresado como:

    $$(1-\phi_1 L - \phi_2 L^2 - \cdots - \phi_p L^p) (y_t-\mu) = (1+\theta_1 L + \theta_2 L^2 + \cdots + \theta_q L^q ) a_t$$ 
    $$z_t=y_t-\(1-\phi_1 L - \phi_2 L^2 - \cdots - \phi_p L^p) z_t = (1+\theta_1 L + \theta_2 L^2 + \cdots + \theta_q L^q ) a_t$$
  1. En resumen, z_t es la señal diferenciada después de restar su promedio a largo plazo.
  2. El orden del proceso ARIMA es solamente determinado por el orden de la última variable rezagada con un coeficiente no-cero. En principio, puede tener menor número de parámetros que el orden del modelo.

    Ejemplo: Considere el siguiente proceso ARIMA(12,2):

    $$(1-\phi_1 L -\phi_{12} L^{12} ) (y_t-\mu) = (1+\theta_2 L^2 ) a_t$$

 

Referencias

¿Tiene más preguntas? Enviar una solicitud

0 Comentarios