Módulo 5: Modelación de series de tiempo

En el módulo cuatro (4), hemos demostrado el análisis de correlograma y su uso en la identificación de modelos adecuados serie de tiempo.

En este módulo, le guiaremos por el proceso de especificación del modelo utilizando las funciones y herramientas de NumXL.

NumXL soporta numerosos modelos de series de tiempo: ARMA, ARIMA, AirLine, GARCH, etc, y más se añadirán a medida que los usuarios lo soliciten.

En todos los casos, comenzamos esta fase con un modelo en mente (por ejemplo, GARCH (1,1)), y usamos las herramientas y asistentes de NumXL para facilitar la etapa de especificación del modelo.

Para los datos de la muestra, estamos utilizando el log-return semanal para S&P 500 entre Enero de 2009 y Julio de 2012.

A plot for the S&P 500 ETF log monthly returns between  Jan 2009 and July 2012.

En el Módulo 4, mostramos que los retornos semanales de los registros no muestran una correlación serial significativa, pero poseen un efecto ARCH. En otras palabras, un modelo ARCH / GARCH es más adecuado para ajustar los datos que, por ejemplo, ARMA. Para empezar, consideremos un modelo GARCH (1,1):

$$y_t=\mu + a_t$$

$$a_t=\sigma_t \times \epsilon_t$$

$$\epsilon_t \sim \Phi(0,1)$$

$$\sigma_t^2 = \alpha_o + \alpha_1 a_{t-1}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2$$

Utilizando la barra de herramientas de NumXL, localice y haga clic en el icono de GARCH.

Selecting GARCH icon in NumXL Tab.

Aparecerá el cuadro de diálogo del asistente de GARCH. En el campo de datos de entrada, especifique el rango de celdas para los datos de la muestra. A continuación, ingrese los valores de las órdenes de componente ARCH y GARCH como uno (1).

NumXL GARCH model wizard or dialog box.

Para la distribución de innovaciones, por defecto usaremos la distribución Gaussiana y esto completará la especificación del modelo GARCH (1,1).

A continuación, indique al asistente de GARCH que genere y aumente las secciones de cálculos de bondad de ajuste y de diagnóstico de residuos en la tabla de resultados del modelo.

Por defecto, se utiliza la celda seleccionada para el valor del rango de salida. Si esto es aceptable, haga clic en el botón OK o Aceptar.

La tabla siguiente se generará en su hoja de cálculo:

The GARCH(1,1) model output table generated by NumXL GARCH wizard for the  S&P 500 ETF log monthly returns time series.

Los valores de los parámetros del modelo se establecen con una conjetura rápida y no son óptimos. El modelo debe ser calibrado (próximo módulo) antes de poder calibrar su ajuste o considerarlo para la previsión o pronóstico.

En la tabla intermedia (es decir, bondad de ajuste), el asistente creó una función de verosimilitud y fórmulas de criterio de información Akaike en las celdas correspondientes. Las fórmulas hacen referencia a las celdas de parámetros del modelo y al rango de datos de entrada, de modo que después de calibrar el modelo, estas reflejarán la bondad de ajuste de los valores óptimos.

GARCH model table with cells-formula reference model's parameters and input data.

En la tabla más a la derecha (es decir, Residuals Diagnosis), el asistente creó una serie de pruebas estadísticas (fórmulas) para los residuos estandarizados (i.e. \{\epsilon_t\} ) para ayudarnos a verificar la suposición de GARCH:

$$\epsilon_t\sim\textrm{i.i.d}\sim\Phi(0,1)$$

Las fórmulas generadas hacen referencia a las celdas de los parámetros del modelo y al rango de celdas de datos de entrada, por lo que al calibrar (o modificar) los valores de los parámetros del modelo, los resultados de las pruebas estadísticas reflejan los últimos valores de los parámetros del modelo.

The generated Formulas in the Residual Diagnosis section of GARCH model table.

¿Que sigue?

Una recapitulación rápida: hemos analizado las propiedades estadísticas de los datos de entrada y elaboramos un modelo sospechoso: GARCH (1, 1). Ahora, necesitamos responder a las siguientes preguntas:

  1. ¿Cuáles son los valores óptimos para GARCH (1,1), dados los datos de entrada?
  2. Dado el modelo calibrado, ¿qué tan bien se ajusta el modelo con los datos de entrada? ¿Los residuos responden a la (s) suposición (es) del modelo subyacente?
  3. ¿Existen modelos similares a considerar (por ejemplo, EGARCH, GARCH-M, etc.)? ¿Cómo podemos nostros clasificar los modelos y finalmente decidir cuál de ellos usar?

Como usted ha podido adivinar, nuestro análisis ha alcanzado una nueva fase: la fase de identificación del modelo. Por ahora, abordemos las dos primeras preguntas:

  • En el módulo seis (6), abordaremos el proceso de calibración
  • En el módulo siete (7), visitaremos el diagnóstico de residuos con mayor detalle y validaremos los supuestos del modelo.

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