Módulo 7: Diagnóstico Residual

En los módulos cinco y seis, hemos demostrado el procedimiento de modelado de series temporales desde la especificación del modelo hasta la calibración.

In this module, we will look into the model’s residuals time series and examine the underlying model assumptions (e.g. normality, etc.).

En pocas palabras, un modelo de series de tiempo dibuja algunos patrones para la evolución de los valores en el tiempo y asume que los términos de error (es decir, los residuos) para ser independientes y seguir una distribución de probabilidad particular. Una vez que ajustamos los datos de la muestra en el modelo, es imperativo examinar esos residuos para la independencia y si sus valores siguen la distribución asumida.

Ejemplo 1: Un modelo de ARMA (p, q) asume que la serie de tiempo residual es una distribución Gaussiana de ruido blanco.

$$(1-\sum_{i=1}^p\phi_i L^i)y_t=(1+\sum_{j=1}^q \theta_j L^j)a_t$$

$$a_t \sim \mathrm{i.i.d}\sim \Phi(0,\sigma^2)$$

Examplo 2: Un modelo GARCH (1,1) asume que los residuos estandarizados son ruido blanco gaussiano con media cero y varianza unitaria.

$$y_t=\mu + a_t$$

$$\sigma_t^2=\alpha_o + \alpha_1 a_{t-1}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2$$

$$a_t = \epsilon_t \times \sigma_t$$

$$\epsilon_t \sim \mathrm{i.i.d} \sim \Phi(0,1)$$

Para evitar la confusión en cuanto a cuándo debe usar los residuos regulares $\{a_t\}$ o los residuos estandarizados $\{\epsilon_t\}$, Nos limitaremos a los residuos estandarizados. Esto simplifica dramáticamente el diagnóstico:

$$\epsilon_t \sim \mathrm{i.i.d} \sim \Phi(0,1)$$

¿Por qué nos importa? El objetivo de una serie de tiempo es pronosticar, por lo que al garantizar que nuestro modelo se ajusta adecuadamente a los datos y cumple con todos los supuestos, podemos tener fe en el pronóstico proyectado.

Nota: De forma similar a los módulos 5 y 6, usaremos S&P 500 regigstro semanal que devuelve series de tiempo entre enero de 2009 y julio de 2012.

NumXL soporta numerosas funciones que nos ayudan a construir series de residuos y realizar pruebas estadísticas para responder a las preguntas de distribución de independencia/probabilidad.

En este módulo, no es necesario iniciar ningún asistente o crear ninguna fórmula; Todas las pruebas que necesitamos se incluyen en la tabla de modelos (la parte más a la derecha):


GARCH Residuals diagnosis table


El diagnóstico estandarizado de residuos incluye las siguientes pruebas de hipótesis:

  1. Media de la población $(H_o : \mu = 0)$
  2. Desviación de la población estándar $(H_o : \sigma = 1)$
  3. Población sesgada $(H_o : S = 0)$
  4. Exceso de población-kurtosis $(H_o : K = 0)$
  5. Prueba de ruido blanco o correlación en serie $(H_o : \rho_1=\rho_2=\cdots = 0)$
  6. Prueba de normalidad
  7. Prueba de efecto ARCH

Las primeras cuatro pruebas examinan el centro de distribución, la dispersión, la simetría y las colas de extremo distante. La prueba de Normalidad complementa estas pruebas asumiendo una distribución específica Gaussiana.

$$\epsilon_t \sim \Phi(0,1)$$

Las pruebas de ruido blanco y de efecto ARCH abordan una preocupación diferente: la independencia de las observaciones residuales.

$$\epsilon_t \sim \mathrm{i.i.d}$$

Dado que la prueba de independencia es un tema bastante complejo, lo simplificamos examinando la dependencia de orden lineal y cuadrática.

Vamos a analizar los resultados de la tabla de diagnóstico de residuos:

  1. La prueba de la media de la población (es decir, AVG) muestra que el promedio de la muestra no es significativamente diferente de cero (objetivo). Como resultado, la distribución de los residuos tiene una media de cero.
    population mean test - residuals diagnosis
  2. La desviación estándar de la población (es decir, STDEV) muestra que la desviación estándar de los datos de la muestra no es significativamente diferente de uno (1).
    population standard deviation test - residuals diagnosis
  3. La prueba de inclinación de la población muestra que la inclinación de la muestra no es significativamente diferente de cero. La distribución de los residuos es simétrica.
    population skew test - residuals diagnosis
  4. La prueba de exceso de curtosis de población indica que la curtosis de la muestra no es significativamente diferente de la de una distribución normal (es decir, la curtosis en exceso = 0). Las colas de distribución de residuos son normales.
    population excess kurtosis test - residuals diagnosis
  5. Hasta ahora, la distribución de los residuos parece una distribución gaussiana. La prueba de Normalidad muestra que los residuos estandarizados son probables de ser muestreados de una población normal.
    Normality test - residuals diagnosis
  6. Ahora examinemos la preocupación de la interdependencia entre los valores de los residuos. Primero, examinemos la dependencia de primer orden (lineal) o la correlación serial usando la prueba de ruido blanco (Ljung-Box). La prueba no muestra ningún signo de correlación serial significativa.
    RESID-DIAGNOSIS-WNTEST-TABLE
  7. Examinemos la dependencia de segundo orden (cuadrática) o el efecto ARCH. La prueba de efecto ARCH muestra una correlación serial insignificante en los residuos cuadrados o la ausencia de un efecto ARCH.
    RESID-DIAGNOSIS-ARCH-TEST-TABLE

Como resultado, los residuos estandarizados son independientes e idénticamente Gaussianos distribuidos. Por lo tanto, el supuesto del modelo GARCH se cumple. El modelo es justo.

Vamos a trazar la distribución de los residuos estandarizados y el gráfico Q-Q.

histogram plot for GARCH(1,1) standardized residualsQ-Q Plot for GARCH(1,1) standardized residuals

El histograma de datos de muestra no implica fuertemente una distribución gaussiana, pero esto se debe a la construcción del histograma como una estimación aproximada de la distribución subyacente.

Por otro lado, el gráfico Q-Q confirma nuestro hallazgo anterior de normalidad y ausencia de colas anchas en cada extremo.

 

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