Módulo 8: Pronóstico

En los módulos cinco y seis, hemos demostrado algunos pasos para especificar un modelo, calibrar los valores de sus parámetros, y en el módulo siete, hemos examinado el residuos estandarizados - diagnóstico residual - para asegurar el modelo adecuado con los datos de entrada.

En este módulo, tomaremos el paso final y realmente proyectamos un pronóstico: media, error estándar e intervalo de confianza.

En general, nos interesa predecir la media condicional y la desviación estándar condicional (máas conocida comom volatilidad):

$$y_{T+k}=\mu_{T+k}+a_{T+k}$$

$$\mu_{T+k}=E_T [y_{T_k}]$$

$$a_{T+k}=\sigma_{T+k}\times\epsilon_{T+k}$$

$$\epsilon_{T+k} \sim \Phi(0,1)$$

Donde

  • $\mu_{T+k}$ es la predcción de la media acondicianada en $T+k$
  • $\sigma_{T+k}$ Es la volatilidad condicional pronosticada en $T+k$

Como resultado; para un 95% del intervalo de confianza, el pronóstico se expresa de la siguinete manera:

$$mu_{T+k}-1.96\times\sigma_{T+k}\prec y_{T+k}\prec \mu_{T+k}+1.96\times\sigma_{T+k}$$

Para los modelos GARCH, la media condicional es constante, por lo que el procedimiento de pronóstico se centra principalmente en una prónostico de volatilidad.

$$\mu-1.96\times\sigma_{T+k}\prec y_{T+k}\prec \mu+1.96\times\sigma_{T+k}$$

Utilizando la barra de herramientas de previsión NumXL, puede generar los valores de pronóstico fuera de la muestra, los errores estándar y los intervalos de confianza en pocos pasos.


Calibrated GARCH model ready for forecast


  1. Seleccione la primera celda en el modelo (es decir, M32)
  2. Localice y haga clic en el icono Pronóstico en la barra de herramientas de NumXL
    selecting forecast icon in NumXL toolbar
  3. El asistente de pronóstico aparece en la pantalla.
    NumXL forecast wizard/dialog
  4. Para los datos de entrada, seleccione el intervalo de celdas de las últimas (es decir, más recientes) devoluciones de registros semanales (~ Julio de 2012).
  5. Para la volatilidad realizada, usted puede:
    • Dejarlo en blanco, de meodo que la volatilidad GARCH-ajustada es usada o
    • Seleccionar un rango de las ultimas volatilidades realizadas semanalmente (Calculado utilizando diferentes enfoques)
  6. En el campo Salida -> Pasos máximos, seleccione un pronóstico de 15 semanas.
  7. En Output -> Volatility Term structure, dejelo marcado por ahora, se discutirá más adelante.
  8. En el rango de salida, seleccione una celda vacía en la hoja de cálculo para imprimir las fórmulas de pronóstico.
  9. De click en OK ahora.

El asistente de pronóstico imprime las fórmulas para las diferentes celdas en la tabla de pronóstico (abajo):


GARCH volatility forecast table Forecast using GARCH model

Además, el error estándar previsto (es decir, la volatilidad condicional) está aumentando con el horizonte de pronóstico (a continuación).


GARCH volatility forecast of the S&P 500 monthly log returns

En el gráfico anterior, el pronóstico de volatilidad sube a su valor de largo plazo de (3.77%).

¿Cuáles son los valores a largo plazo

Para un modelo de series de tiempo estable, la media condicional y el pronóstico de varianza convergen a sus valores de largo plazo (históricos o incondicionales). Los valores de largo plazo están implicados (es decir, calculados) a partir de los valores de los parámetros del modelo.

Ejemplo: para GARCH(1,1), Un GARCH (1,1), la volatilidad condicional a largo plazo (GARCH_VL) se expresa de la siguinete manera:

$$\sigma_{T+\infty}=V_L= \frac{\alpha_o}{1-\sum_{i=1}^{\mathrm{max(p,q)}}(\alpha_i+\beta_i)}$$

Estructura temporal

En finanzas, a menudo deseamos calcular un pronóstico de volatilidad de varios periodos (también conocido como estructura temporal de volatilidad).

$$\sigma_{T\to T+k}^2 = \sigma_{T\to T+1}^2 + \sigma_{T+1\to T+2}^2 + \cdots + \sigma_{T+k-1\to T+k}^2$$

$$\sigma_{T\to T+k}^2 = \sigma_{T+1}^2 + \sigma_{T+2}^2 + \cdots + \sigma_{T+k}^2$$

Ahora nosotros tenemos una base unitaria $\sigma_{T\to T+k}^2$ expresada en terminos de una unidad de tiempo periodo k. Para faciliar la comparación a lo largo de los diferentes periodos, nosotros utilizamos una unidad de tiempo de un período para todos los cálculos de volatilidad:

$$\sigma_{T\to T+k}^2 = \frac{\sigma_{T+1}^2 + \sigma_{T+2}^2 + \cdots + \sigma_{T+k}^2}{k}$$

Vamos a trazar la estructura de términos de volatilidad GARCH:


Term structure volatility forecast tableLocal and term structure volatility using GARCH model

En cuanto a las devoluciones de registro multi-período:

$$r_{T\to T+k}=r_{T\to T+1}+ r_{T+1\to T+2}+ \cdots + r_{T+k-1\to T+k}$$

Y con la misma base de tiempo unitario:

$$r_{T\to T+k}=\frac{r_{T\to T+1}+ r_{T+1\to T+2}+ \cdots + r_{T+k-1\to T+k}}{k}$$

Para el modelo GARCH, la predicción media condicional es constante (\mu), por lo que los retornos de varios periodos (estructura temporal) también son constantes(\mu).

Aplicación

Atilizando el modelo GARCH anterior, ¿Cuál es la previsión o pronóstico de volatilidad de 3 meses (12 semanas) por año?

$$\sigma_{T\to T+12}^2 = \frac{\sigma_{T+1}^2 + \sigma_{T+2}^2 + \cdots + \sigma_{T+12}^2}{12}\times 52$$

Este valor de volatilidad puede ser conectado a la ecuación de precios de la opción Black Scholes para generar una opción de índice Europeo S&P 500 de 3 meses.

 

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