Pasajeros de Aerolíneas Internacionales

 En este documento analizaremos las series de datos de pasajeros internacionales (G), como se mencionó en el libro de texto Series de Tiempo: Pronóstico y Control por Box, Jenkins Reinsel (ISBN: 978-0470272848). Este libro de texto fue publicado en los últimos años de la década de los 60 y es considerado por muchos usuarios el texto fundacional definitivo sobre las series de tiempo.

Las series de pasajeros de aerolíneas internacionales describe totales mensuales de pasajeros internacionales para el período entre Enero de 1949 y Diciembre de 1960.

El objetivo aquí es seguir el mismo patrón de análisis del libro y demostrar la exactitud de los cálculos de NumXL. Además, SAS – proveedor líder de software estadístico - demuestra su propio análisis para el mismo grupo de datos, así que les recomendamos mucho a nuestros usuarios revisar sus resultados también por medio del siguiente vínculo:

SAS Procedural reference - Example 7.2 Seasonal Model for the Airline Series

airline passenger data plot

Paso1: Transformación de Datos

Usando la herramienta de estadística descriptiva (que se muestra a continuación), examine los distintos resúmenes de estadísticas de los datos de la muestra.

En la tabla de resumen de estadísticas (que se muestra abajo), las series de datos exhiben una correlación serial (ej. Prueba fallida de ruido blanco) y colas gruesas (Exceso significativo de curtosis y efecto ARCH)

Summary statistics output for airline passenger data

El análisis original convierte las series de datos usando la función de logaritmo natural (ej. LN). Sigue la misma técnica, como se muestra en la gráfica a continuación:

plot for the log airline passenger data

Esta técnica debe llevarnos al siguiente resumen estadístico:

summary stats for log airline passenger data

Tenga en cuenta que la serie de datos transformada es más regular que los datos originales y la tendencia de tiempo aparece más linear que la original.

Paso 2: Análisis de Correlograma

Usando la barra de herramientas de NumXL, tome la herramienta de correlograma.

NumXL Correlogram Wizard

Subraye los datos de entrada y seleccione 24 lags para ACF y PACF. Luego, cree un correlograma para los datos.

Correlogram output for log airline passenger data

Examine la gráfica de ACF, los datos parecen estar integrados en el lag número uno (1) y en el lag doce (12). Diferencie los datos para ambos lags (i.e. $ \left(1-L\right)\left(1-L^{12}\right) $), como se muestra en la gráfica a continuación:

Differenced airline passenger data

El conjunto de datos diferenciado debe generar el siguiente correlograma:

correlogram for differenced log airline passenger data

También se debe anotar que la gráfica ACF de las series de datos diferenciadas muestra una autocorrelación significativa en el lag uno (1) y el lag doce (12).

Paso 3: Modelado de Aerolíneas

El modelo propuesto para las series de datos de registro de pasajeros es un modelo con una extensión estacional de 12 meses.

$$\left(1-L\right)\left(1-l^{12}\right)\ln{X_t}=\mu \left(1+\theta L\right)\left(1+\Theta L^{12}\right)a_t$$

Donde

  • L = the backshift operator (aka B).
  • $a_t$ = the error term, shock, innovation, or simply the model residual at time t.
  • $\mu$ = the mean of the seasonal differenced time series.

Usando la barra de herramientas de NumXL , haga click en el ícono de Aerolínea para tomar la herramienta de modelo de Aerolinea.

Airline model wizard
Airline model initial values table

Paso 4: Calibrado

Seleccione la celda en la parte superior de la tabla de modelo de aerolínea (ej. “AIRLINE(12)”) y haga click en el ícono de Calibrado en la barra de herramientas.

Airline passenger data calibration

El solucionador de Excel tratará de determinar los valores óptimos para los parámetros del modelo de aerolínea (i.e. $\theta,\Theta$ )

Excel solver results dialog

Los nuevos valores óptimos para los parámetros de modelo se muestran a continuación:

calibrated values for Airline passenger data

Examinando la tabla de análisis residual, los valores calibrados satisfacen todas las conjeturas del modelo subyacente (i.e. Residuos Gaussianos distribuidos).

Los valores parámetro de del modelo calibrado en la página web de SAS son un tanto diferentes de los calculados anteriormente:

Airline model parameters Airline model goodness of fit

Sin embargo, nuestros valores están dentro de los límites de tolerancia de error (i.e. ) y nuestro criterio de información de Akaike’s (AIC, por sus siglas en inglés) es mejor.

La diferencia sustancial entre NumXL y los valores SAS puede explicarse al notarse que no establecimos el valor de interceptación (\mu )como cero.

Paso 5: Pronóstico

Los residuos del modelo calibrado satisfacen el supuesto de un modelo de aerolínea. Ahora estamos listos para conducir un pronóstico de 24 meses para el total de pasajeros mensuales de una aerolínea internacional.

El pronóstico seguirá dos etapas:

  • Pronosticar para el retraso de totales mensuales.
  • Transformar el pronóstico al de totales mensuales regulares.

Seleccione la celda nombrada “AIRLINE(12)” y haga click en el ícono de Pronóstico en la barra de herramientas.

Airline passenger forecast wizard

Por favor tenga en cuenta que para propósitos del pronóstico, el input de las series de tiempo aquí se refiere a los últimos 13 meses, o las observaciones entre Nov 1959 y Dec 1960. El resultado se muestra a continuación:

Forecast table for log airline passenger monthly totals
Forecast for log airline passenger monthly totals

Para convertir a total mensual regular use estas ecuaciones:

$$UL=e^{UL_{log}}$$
$$LL=e^{LL_{log}} $$
$$\mu=e^{\mu_{log}+\frac{\sigma_{log}^2}{2}}$$
Monthly Total Airline passenger Forecast table
Monthly Total Airline passenger Forecast plot
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