Exponente de Hurst en Excel

Ocasionalmente nuestro equipo de soporte recibe preguntas sobre el exponente de Hurst: ¿De qué se trata? ¿Cómo se usa? y ¿Cómo debemos interpretar los valores calculados? En esta edición vamos a explorar a profundidad el exponente de Hurst de manera que podamos ayudarlos a desarrollar una intuición y visión del mismo.

¿Qué es el exponente de Hurst?

El nombre “Exponente de Hurst” o “Coeficiente de Hurst” proviene de Harold Edwin Hurst (1880-1978) quien era el líder de investigación de estos estudios. Los estudios relacionados con el exponente de Hurst inicialmente se desarrollaron en el área de hidrología, por la razón pragmática de determinar el tamaño óptimo del dique para las volátiles condiciones de lluvia y sequía del río Nilo que se habían observado por un largo período.

 

La imagen muestra Philae, una isla en el embalse de la represa baja de Aswan, aguas abajo de la presa de Dam y del lago Nasser en Egipto.

El exponente de Hurst (H) se usa como una medida de memoria de largo plazo para series de tiempo. Se relaciona con las autocorrelaciones de las series de tiempo y la tasa a la que disminuyen a medida que aumenta el desfase entre pares de valores. A menudo, el exponente de Hurst se denomina como el “índice de dependencia” o “índice de dependencia y largo alcance”.

¿Cuál es la memoria de largo plazo de un proceso?

La memoria de largo plazo, también llamada dependencia de largo rango (LRD) o persistencia de largo rango es un fenómeno que puede surgir en las series de tiempo de datos. Se relaciona con la tasa de disminución de la dependencia de dos puntos a medida que el tiempo entre los puntos aumenta.

El proceso ARMA (P,Q) exhibe una memoria de largo plazo? ¡No! Un ARMA estacional con ordenes finitas de P y Q, ARMA (P,Q) tiene memoria de corto plazo. Podemos examinar la gráfica de la función de autocorrelación (ACF) a medida que su valor decae exponencialmente y desaparece luego de unos pocos retrasos.

¿Cómo se comporta un modelo de memoria de largo plazo?
En general, un proceso con memoria de largo plazo puede verse como una caminata lenta aleatoria y a la deriva. Por ejemplo, examinemos el promedio mensual del nivel de dióxido de carbono (CO2) registrado en Mauna Loa, estación climática de Hawaii.

Log del nivel mensual de CO2 en Mauna Loa, Hawaii 1958-2020

Ahora eliminemos la estacionalidad de 12 meses diferenciando el valor de cada observación de uno que es 12 meses más temprano.

No estacionalidad (12 meses) Nivel de Log mensual CO2

En la gráfica del correlograma, los factores de autocorrelación (ACF) están en declive pero a un ritmo lento.

img-3-co2-diff-acf.png

 

¿Cómo modelamos las series de tiempo de memoria de largo plazo? De la misma manera en que lo hicimos en el modelo no estacionario ARIMA: extraemos el componente de integración fraccional y capturamos la memoria de corto plazo en los residuos con el modelo ARMA.

Usando un operador de diferencia fraccional capturamos la dinámica de memoria de largo plazo en series de tiempo:

\[{(1 - L)^d} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} d\\ k \end{array}} \right)} {( - 1)^k}{L^k} = 1 + {\omega _1}L + {\omega _2}{L^2} + ...\]

Donde

  • $L$ = retraso u operadora de retroceso
  • ${\omega _1} = - d$
  • ${\omega _2} = - \frac{{{\omega _1} \times (d - 1)}}{2}$
  • ${\omega _N} = - \frac{{{\omega _{N - 1}} \times (d - N - 1)}}{N}$

Para $\left| d \right| \le \frac{1}{2}$, el coeficiente ${\omega _k}$ similar al poder decae relativamente rápido (aunque más despacio que el decaimiento exponencial). 

Coeficientes de Diferencia fraccional

Juntando todas las piezas terminamos con ARIMA fraccional (ej. FARIMA)

\[(1 - {\phi _1}L - {\phi _2}{L^2} - ... - {\phi _p}{L^p}){(1 - L)^d}{X_t} = (1 + {\theta _1}L + {\theta _2}{L^2} + ... + {\theta _q}{L^q}){a_t}\]

Donde

  • $L$ = Retraso u operadora de retroceso
  • ${X_t}$ = Conjunto de datos de series de tiempo
  • ${a_t}$ = innovación de series de tiempo (o shocks). 
  • $d$ = orden de integración y su valor exclusivo entre -0.5 y 0.5.

¿Cómo encontramos el orden de integración (d)?El orden de integración fraccional (d) es igual al exponente de Hurst (H) menos 0.5 (ej, d = H - 0.5).

 

Interpretación del exponente de Hurst

En pocas palabras el exponente de Hurst es un valor único (H), que podemos usar para dibujar una observación sobre las series de tiempo de memoria de largo plazo (correlación serial):

 

H      Interpretation
0.5 - 1.0   Una serie de tiempo con autocorrelación positiva de largo plazo
0.0 - 0.5   Indica una serie de tiempo con cambio a largo plazo entre valores altos y bajos en pares adyacentes, lo que significa que un valor bajo probablemente seguirá un único valor alto, y que el valor después de este tenderá a ser alto. Con esta tendencia a cambiar entre valores altos y bajos que durarán mucho tiempo en el futuro.
0.5   Una serie completamente no correlacionada aunque, de hecho, es el valor aplicable a series para las cuales las autocorrelaciones en retrasos de tiempo pequeños pueden ser positivas o negativas, pero donde los valores absolutos de las autocorrelaciones decaen exponencialmente rápido hasta cero.

 

Importante: Para las series de tiempo con un exponente de Hurst igual a 0.5, concluimos que la serie de tiempo no tiene memoria de largo plazo (o dependencia de largo alcance), pero esto no es lo mismo que decir que la serie de tiempo es ruido blanco, ya que debe haber uno o mas factores de auto correlación significativos en nivel(es) de retraso más bajo.

 

Cálculo del exponente de Hurst

El original y más conocido método para estimar el exponente de Hurst es el llamado análisis de rango re-escalado (R/S), basado en hallazgos hidrológicos previos de Hurst.

La función de NumXL Hurst(.) calcula el exponente de Hurst original (empírico) cuando establecemos el tipo de retorno como 1

= Hurst(x, Alpha,1)

Sin embargo, se sabe que esta aproximación produce estimados sesgados. Para una muestra de tamaño pequeño hay una desviación significativa de 0.5 pendientes (ej. Largo rango no correlacionado).

Estimado del Exponente de Anis-Llyod Hurst

Para corregir el sesgo incorporado en la estimación del exponente de Hurst original (empírico), Anis-LIyod presento un estimado corregido en tamaño del rango re escalado (R/S).

 

La función de NumXL Hurst(.) calcula el exponente de Hurst de Anis-Lloyd (corregido R/S) cuando estimamos el tipo de retorno como 2

=Hurst (X,Alpha,2)

 

Significancia Estadística

Hasta el momento no se ha derivado ninguna teoría de distribución asintótica para la mayoría de estimadores del exponente de Hurst. Sin embargo, tenemos una forma funcional aproximada para los intervalos de confianza del análisis corregido de Anis-Lloyd R/S.
Para examinar la significancia estadística del estimado del exponente de Hurst calculado ( ), hemos construido la siguiente hipótesis de prueba:

\[\begin{array}{l} {{\rm{H}}_o}:{H_q} = {\rm{ uncorrelated}}\\ {{\rm{H}}_1}:{H_q} = {\rm{ long - memory}} \end{array}\]

A continuación, calculamos la estimación del exponente de Hurst correspondiente y los límites del intervalo de confianza (C.I.) de una serie de tiempo no correlacionada  (sin memoria de largo alcance) para un tamaño de muestra dado.

Luego, calculamos el estimado del exponente de Hurst correspondiente y los limites de intervalos de confianza (C.I.) de una serie de tiempo no correlacionada (sin memoria de largo plazo) para un tamaño de muestra dado.

La función de Hurst de NumXL(.) calcula el exponente de Anis-Lloyd de Hurst (corregido R/S) para series de tiempo no correlacionadas del mismo tamaño cuando estimamos un tipo de retorno de 3

=Hurst(X, Alpha,3)

La función NumXL Hurst(.) calcula los limites de intervalos de confianza bajos y altos del exponente de Hurst de Anis-Lloyd de las series de tiempo no correlacionadas, cuando estimamos un tipo de retorno de 4 y 5, respectivamente.

LL=Hurst(X,Alpha,4)

UL=Hurst(X, Alpha,5)

Finalmente, examinamos el valor del exponente de Hurst de Anis-Lloyd (corregido R/S) contra el C.I. de la hipótesis de Null (en series de tiempo no correlacionadas).

  • El estimado del exponente de Hurst está fuera del C.I., de manera que la serie de tiempo tiene memoria de largo plazo.
  • El exponente de Hurst está dentro del C.I., de manera que la serie de tiempo no exhibe una propiedad de memoria de largo plazo significativa y las observaciones pueden estar no correlacionadas.

Ejemplo:

Examinemos el nivel logarítmico de CO2 entre marzo de 1958 y noviembre de 2020.

img-5-CO2-log-12-diff-hurst-exponent-analysis.png

La estimación del exponente de Hurst R/S corregido por Anis-Lloyd es de 0,84 y este valor esta fuera del C.I.del exponente de Hurst de una serie de tiempo no correlacionada del mismo tamaño. La serie temporal no estacional de nivel logarítmico CO2 exhibe un comportamiento de memoria de largo plazo y el orden fraccional diferente donde (d) es 0.34 (ej., 0.84 -0.50 = 0.34). 

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