D'un point de vue statistique, une série chronologique ${x_t}$ est caractérisée comme ayant un faible test blanc dans Excel (bruit blanc) si ${x_t}$ est une séquence de variables aléatoires non corrélées en série avec une moyenne nulle et une variance finie. Le bruit blanc fort a également la propriété d'être indépendant et identiquement distribué, ce qui implique l'absence d'autocorrélation.
En particulier, si $x_t$ est une variable aléatoire normale avec une moyenne de zéro et un écart type $\sigma$, la série est appelée bruit blanc gaussien (test blanc dans Excel).
Tests statistiques
Pour examiner la série de données à la recherche de preuves d'une corrélation sérielle, nous utilisons le test statistique de Ljung-Box et les statistiques $Q^*(m)$ modifiées.
Le test de Ljung-Box :
$$H_o:\rho_1=\rho_2=\rho_3=...=\rho_m=0 $$ $$ H_1:\exists \rho_{1\leqslant k\leq m} \neq 0$$
Où:
- $H_o$: Hypothèse nulle (bruit blanc)
- $H_1$: Hypothèse alternative (pas de bruit blanc)
- $m$: Limite supérieure du test. La limite supérieure peut être définie par nos soins ou laissée à la fonction afin qu'elle choisisse une limite appropriée. Les praticiens utilisent $\ln{T}$ comme valeur appropriée pour $m$.
Statistiques de Ljung-Box
La statistique Ljung-Box (c'est-à-dire $Q^*(m)$) est une amélioration du test $\chi^2$ classique, en particulier pour les échantillons de petite taille.
$$Q^*(m)=T(T+2)\sum_{j=1}^m{\frac{\rho_j^2}{T-j}} Q^*(m)\sim \chi_{\nu=m}^2$$
Il s'agit d'un test statistique unilatéral. Une valeur p supérieure au niveau de signification ($\alpha$) nous conduit à ne pas rejeter l'hypothèse nulle ou, en d'autres termes, la série chronologique est un test blanc dans Excel (bruit blanc).
WNTest
La fonction WNTest de NumXL calcule la valeur P pour les statistiques $Q^*(m)$ pour nos données échantillon. La limite supérieure de décalage ($m$) est définie par défaut sur $\ln{T}$, mais l'utilisateur peut remplacer cette valeur en passant une valeur pour ce paramètre.
Exemple : À l'aide du formulaire de statistiques descriptives NumXL, nous avons calculé diverses statistiques récapitulatives et effectué, entre autres, le test de bruit blanc de Ljung-Box (WNTest).
Les statistiques sommaires et les tests :
La valeur P du test de bruit blanc de Ljung-Box (test blanc dans Excel) est supérieure au niveau de signification (c'est-à-dire $\alpha$), nous ne rejetons donc pas l'hypothèse du bruit blanc ($H_o$), ou, en termes simples, il n'existe aucune preuve statistique d'une corrélation sérielle, les données peuvent donc être considérées comme du bruit blanc.
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