Quelle est l'importance de la volatilité ? Tout d'abord, la volatilité ou l'écart-type est une mesure importante du risque de marché. Deuxièmement, elle est souvent utilisée pour déterminer le prix des instruments dérivés (par exemple les options).
Dans cet article, nous allons vous montrer les quelques étapes nécessaires pour convertir les données de l'indice boursier S&P 500 en une prévision de volatilité fiable à l'aide du complément NumXL dans Microsoft Excel.
Dans le cadre de notre étude, nous utilisons les prix de l'ETF S&P 500 (alias SPDR) comme indicateur du marché américain des actions à grande capitalisation. En outre, nous utilisons les prix mensuels (tabulés au début du mois) allant de janvier 2000 à février 2012.
L'objectif est ici de construire une prévision de volatilité basée sur un modèle pour les 12 prochains mois (c'est-à-dire jusqu'à la fin du mois de février 2013).
Étape 1 : Rendements mensuels
La série temporelle des prix du SPDR est non stationnaire et ne convient donc pas à de nombreuses séries temporelles ou analyses économétriques. C'est pourquoi nous l'avons d'abord convertie en rendements mensuels. En outre, nous avons choisi les rendements logarithmiques plutôt que les rendements simples afin d'étaler les valeurs de la série temporelle car les rendements simples, par définition, ne peuvent pas être inférieurs à moins 1 (-100%).
Dans le graphique ci-dessous, nous avons représenté les séries temporelles de la moyenne mobile pondérée (WMA) sur 12 mois et de la volatilité exponentielle pondérée (EWMA) pour montrer la variation de la moyenne et de la volatilité au fil du temps.
Il convient de noter que la prévision de la volatilité (représentée par l'EWMA) évolue en douceur (contrairement aux rendements), mais qu'elle est plus sensible aux rendements négatifs qu'à un marché à rendements positifs.
Étape 2 : Statistiques de synthèse
Calculons maintenant les statistiques descriptives de l'échantillon des rendements mensuels : moyenne, écart-type, etc., pour nous aider à mieux comprendre les données. Les fonctions intégrées de NumXL peuvent être utilisées comme indiqué pour générer un ensemble de statistiques résumant les tendances passées du marché.
En utilisant l'assistant de statistiques sommaires, entrez l'ensemble de données d'entrée (par exemple, la plage de cellules de retour dans la colonne H) dans l'onglet "Série temporelle", la cellule de départ dans la plage de sortie, puis cliquez sur OK.
Le tableau de sortie généré est présenté ci-dessous. Veuillez noter que les cellules du tableau de sortie sont connectées aux sources de données d'entrée ; l'assistant Statistiques de synthèse écrit les formules de chaque sortie en utilisant les étiquettes spécifiées dans la première ligne de chaque colonne de données.
L'examen du tableau de sortie montre que la distribution des logarithmes des rendements présente une asymétrie négative (asymétrie vers la gauche) et des queues grasses. En outre, le résultat du test du bruit blanc indique l'absence de toute corrélation sérielle significative entre les rendements. En résumé, ces résultats indiquent que ces données peuvent être bien représentées par un modèle de type GARCH.
Étape 3 : Modélisation E-GARCH
Au début, nous avons remarqué que les prévisions de volatilité (proxy EWMA) réagissaient différemment aux rendements négatifs (baisse) qu'aux rendements positifs. Heureusement, le GARCH exponentiel (E-GARCH) capte ce phénomène
NumXL prend en charge trois (3) types de distributions pour les résidus : (1) gaussienne, (2) distribution d'erreur généralisée (GED) et (3) distribution t de Student. Les données de l'échantillon présentent un excès d'aplatissement relativement faible, de sorte que le modèle GARCH capturera la totalité de l'excès d'aplatissement, permettant ainsi aux résidus d'être normalement distribués (c.-à-d. gaussiens).
Après avoir saisi l'ensemble des données d'entrée dans Time Series et la cellule de la plage de sortie, le modèle peut être sélectionné et doit être amorcé en saisissant certains paramètres spécifiques au modèle. Veuillez noter que si ces valeurs ne sont pas encore connues, une estimation grossière et intelligente doit être saisie.
Comme pour les statistiques sommaires, les cellules du tableau de sortie E-GARCH sont reliées aux données d'entrée sources par le biais des formules.
Étape 4 : Calibration E-GARCH
Pour ajuster (c'est-à-dire calibrer) le modèle avec notre échantillon de données : (1) sélectionnez la cellule intitulée "EGARCH(1,1)", (2) cliquez sur l'icône ou l'élément de menu Calibrate, et enfin, (3) cliquez sur le bouton Solve.
Le solveur MS Excel maximisera la fonction de log-vraisemblance (LLF) en modifiant les valeurs des coefficients.
Étape 5 : Diagnostic résiduel
Une fois les coefficients du modèle E-GARCH calibrés, nous pouvons examiner les résidus standardisés du modèle pour nous assurer qu'ils satisfont aux hypothèses sous-jacentes du modèle (c'est-à-dire qu'ils sont normalement distribués).
En utilisant le tableau de diagnostic des résidus, nous constatons que tous les tests sont réussis à la seule exception du test ARCH qui suggère la présence d'une dépendance d'ordre supérieur (c'est-à-dire quadratique). Pour les besoins de ce document, nous accepterons le modèle calibré.
La famille de modèles GARCH capture un phénomène courant et important pour la volatilité : le retour à la moyenne. En utilisant notre modèle E-GARCH, la volatilité mensuelle à long terme est estimée à 4,66 % (ou 16,14 % par an).
Étape 6 : Prévision de la volatilité
La famille de modèles GARCH décrit la variation de la volatilité à une étape (c'est-à-dire locale) dans le temps, mais, dans la pratique, nous avons besoin de valeurs de volatilité qui s'étendent sur plusieurs étapes (c'est-à-dire globale ou à terme). Dans ce document, nous préparerons à la fois les volatilités locales et les volatilités à terme pour les 12 prochains mois.
Pour ce faire, (1) sélectionnez la cellule avec le texte "EGARCH(1,1)" (2) cliquez sur l'icône ou le menu "Forecast", sélectionnez les derniers (3) rendements réalisés et (4) volatilités, (5) modifiez l'horizon de prévision et (6) spécifiez l'emplacement de sortie. Enfin, sélectionnez "OK".
Notes
- 1. Les données d'entrée doivent représenter les observations les plus récentes. Pour le modèle E-GARCH (1, 1), au moins un ou deux rendements observés sont nécessaires.
- 2. La volatilité réalisée prévue (données d'entrée) est la volatilité la plus récente. La volatilité n'étant pas directement observée, vous devez la calculer à l'aide de votre méthode préférée. Dans cet exemple, l'écart-type de la fenêtre de 12 mois a été utilisé.
Le tableau produit par la prévision NumXL est le suivant :
Le modèle E- GARCH indique que nous nous trouvons actuellement dans une zone de volatilité historiquement faible et prévoit une augmentation (retour à la moyenne) de la volatilité globale jusqu'à son niveau de long terme (4,66 %/mois ou 16,14 %/an).
Plus précisément, ces résultats indiquent que pour le mois de février 2012 (c'est-à-dire se terminant le 1er mars 2012), nous prévoyons une volatilité inférieure à celle de janvier 2012, car la valeur est inférieure à la valeur de référence à long terme de 4,66 %.
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