Transformée de Fourier discrète (TFD) - Représentation trigonométrique

Il s'agit du deuxième tutoriel de notre série sur l'analyse spectrale des séries temporelles. Dans cet article, nous poursuivons notre discussion sur la transformée de Fourier discrète dans Excel, son interprétation et son application dans le domaine temporel.

La TFD est essentiellement une transformation mathématique et peut être un peu aride, mais nous espérons que ce tutoriel vous permettra d'acquérir une compréhension et une intuition plus approfondies grâce à l'utilisation des fonctions et assistants NumXL.

Contexte

Nous avons reçu plusieurs demandes de renseignements depuis la publication de notre premier article sur la TFD, en particulier sur l'utilisation des composantes de la TFD pour représenter l'ensemble des données d'entrée comme la somme des fonctions trigonométriques sinus-cosinus. Les demandes étaient motivées par l'utilisation de cette représentation pour interpoler des valeurs intermédiaires et éventuellement extrapoler (ou prévoir) au-delà de l'ensemble des données d'entrée.

En principe, la TFD convertit un ensemble discret d'observations en une série de fonctions trigonométriques continues (c'est-à-dire sinus et cosinus). Le signal original peut donc être représenté comme suit

$$x(t)=\frac{1}{N}\left ( A_o+\sum_{i=1}^N A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i)\right )$$

Où:

• $x(t)$ est la valeur de l'observation au moment $t$.
• $t$ est le temps discret auquel une observation a été faite.
• $t \in \left \{ 0,1,2 \cdots N-1 \right \}$.
• $N$ est le nombre d'observations dans l'ensemble des données d'entrée.
• $\omega = \frac{2\pi}{N}$ est la fréquence fondamentale ou principale.
• $A_i\angle \phi_i$ est l'amplitude et la phase de la i-ième composante discrète de Fourier.

Analyse

En examinant les composantes de la transformée de Fourier (c'est-à-dire l'amplitude et la phase) d'une série finie plus proche, on fait les observations suivantes :

1. La série d'amplitudes est symétrique autour de la composante $N/2$.
2. La phase de la composante $k$ est l'opposée de la composante $N-k$.

Essentiellement, nous n'avons besoin que de la première moitié des composantes de la TFD pour récupérer l'ensemble des données d'entrée originales. Le temps d'origine est représenté par les composantes suivantes :

$$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o+2\times\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i)\right)$$

Preuve

$$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o+\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i) +\sum_{i=N/2+1}^N A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i) \right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o+\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i) +\sum_{i=N/2+1}^N A_{N-i}\times cos(\omega\times i \times t - \phi_{N-i}) \right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o+\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i) +\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times (N-i) \times t - \phi_i) \right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o+\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i) + A_i\times cos(\omega\times (N-i) \times t - \phi_i) \right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o+\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i) + A_i\times cos(2\pi\times t -(\omega\times i \times t + \phi_i)) \right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o + 2\times \sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i)\right)$$

IMPORTANT : pour un ensemble de données d'entrée de taille paire, il n'est pas nécessaire de multiplier par 2 la dernière composante DFT. La représentation cosinus des données d'entrée s'exprime donc comme suit :

$$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o + 2\times \sum_{i=1}^{N/2-1} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i)+ A_{N/2}\times cos(\omega\times \frac{N}{2} \times t + \phi_{N/2})\right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o + 2\times \sum_{i=1}^{N/2-1} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i)+ A_{N/2}\times cos(\pi \times t + \phi_{N/2})\right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o + 2\times \sum_{i=1}^{N/2-1} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i)+ A_{N/2}\times cos(\phi_{N/2})cos(\pi \times t)\right)$$

Conclusion

En utilisant la transformée de Fourier discrète, nous représentons l'ensemble des données d'entrée discrètes sous la forme d'une somme de fonctions trigonométriques continues déterministes.

Contrairement aux données originales, qui sont définies à des moments discrets, la représentation de Fourier est continue et donc définie pour des valeurs de tous les temps. En utilisant cette représentation continue, nous pouvons interpoler n'importe quelle valeur dans cette plage (mais pas pour l'extrapolation/la prévision).