Exemple de prévision des ventes - Comparaison et sélection des modèles

Mohamad

17 août 2019 00:28

Ce document applique des techniques économétriques pour établir des prévisions à 6 mois pour une force de vente de l'entreprise X. Nous utiliserons les chiffres de vente mensuels totaux des 25 derniers mois comme données d'échantillonnage.

Notre objectif est de comparer les modèles concurrents et de définir une ligne directrice pour sélectionner le meilleur modèle.

Cette figure montre l'historique des chiffres de vente mensuels totaux.

Étape 1 : Statistiques sommaires

À l'aide de l'assistant de statistiques descriptives (illustré ci-dessous), examinez les différentes statistiques récapitulatives pour les données de l'échantillon.

Cette figure montre la boîte de dialogue des statistiques récapitulatives pour l'échantillon de données de vente.

Dans le tableau des statistiques récapitulatives (illustré ci-dessous), la série de données présente une corrélation sérielle (c'est-à-dire qu'elle a échoué au test du bruit blanc) et des queues grasses (excès d'aplatissement significatif et effet ARCH).

Cette figure montre le tableau d'édition des statistiques récapitulatives pour l'échantillon de chiffres de vente mensuels.

Étape 2 : Analyse des corrélogrammes

En utilisant la barre d'outils NumXL, lancez l'assistant Corrélogramme.

Cette figure montre la boîte de dialogue du corrélogramme ou le formulaire utilisateur.

Mettez en surbrillance les données du journal et sélectionnez 9 retards pour ACF et PACF. Créez ensuite un corrélogramme pour les données

Cette figure montre le tableau de sortie de l'ACF et du PACF - Sortie du corrélogramme.

Cette figure montre le tracé de l'ACF et du PACF avec les limites de l'intervalle de confiance.

En examinant les graphiques ACF et PACF, les données semblent provenir d'un processus ARMA avec un ordre AR de un (1) et un ordre MA de deux (2). L'échantillon de données est relativement petit, il faut donc veiller à ne pas surajuster les données avec un modèle d'ordre élevé.

Étape 3 : Modélisation ARMA

Sur la base du graphique ACF/PACF, nous pouvons proposer un modèle ARMA pour nos données. En outre, l'ordre AR ou MA est inférieur ou égal à deux (2).

$$\left(1-\sum_{i=1}^p{\phi_i L^i}\right)\left(x_t-\mu\right)=\left(1+\sum_{j=1}^q{\theta_j L^j}\right)a_t$$

Où:

$L$ = l'opérateur de décalage ou de rétrogradation
$\phi_i$ = le i-ième coefficient de la composante AR.
$p$ = l'ordre de la composante autorégressive (AR).
$x_t$ = le total des ventes mensuelles au mois $t$
$\mu$ = la moyenne à long terme du processus ARMA
$\theta_j$ = le jème coefficient de la composante MA
$q$ = l'ordre de la composante moyenne mobile (MA)
$a_t$ = le résidu, le choc, l'innovation ou le terme d'erreur au mois $t$.

Dans cette section, nous utiliserons une approche de force brute et examinerons toutes les permutations possibles du modèle ARMA. En résumé, nous spécifierons, calibrerons, validerons et, enfin, comparerons chaque modèle aux autres afin de déterminer la meilleure (et la plus simple) adéquation.

Étape 3.1 : Spécification du modèle

Cette figure montre la spécification du modèle ARMA avec l'assistant ou la boîte de dialogue ARMA.

Cette figure montre le tableau de sortie du modèle ARMA pour les paramètres du modèle, la qualité de l'ajustement et le diagnostic des résidus.

Étape 3.2 : Étalonnage du modèle

Sélectionnez la cellule en haut du tableau du modèle de compagnie aérienne (c'est-à-dire "ARMA(1,2)") et cliquez sur l'icône Calibration dans la barre d'outils.

Cette figure montre la calibration ARMA en utilisant le raccourci NumXL pour initialiser le Solveur Excel.

Étape 3.3 : Examen et validation du modèle calibré

Pour le modèle ARMA(2.1) ci-dessus, les nouvelles valeurs optimales des paramètres du modèle sont indiquées ci-dessous :

Dans cette figure, nous examinons les résidus ARMA(2,1) après calibration des hypothèses du modèle.

Étape 3.4 : Comparer les modèles et choisir le meilleur

Dans la feuille de calcul ci-jointe, nous avons répété l'étape précédente (3.1-3.3) pour tous les modèles ARMA d'ordre (1,0) à (2,2). Le tableau suivant résume nos résultats :

Cette figure présente le tableau récapitulatif de l'adéquation des différents modèles concurrents.

Le calcul du critère d'information d'Akaike (AIC) tient compte de la complexité du modèle et pénalise l'adéquation lorsque le nombre d'arguments libres augmente. Pour comparer différents modèles, nous utiliserons la mesure AIC.

Bien que les AIC de tous les modèles soient comparativement proches, nous privilégions la méthode la plus simple et choisissons ARMA(1,0) ou AR(1).

Cette figure montre le meilleur modèle sélectionné - ARMA(1,0)/AR(1) paramètres optimaux du modèle.

Cette figure montre les données ajustées du modèle AR(1) tracées à côté de l'échantillon original.

Étape 4 : Prévisions

Les résidus du modèle calibré sélectionné satisfont aux hypothèses du modèle ARMA. Nous sommes maintenant prêts à effectuer une prévision à 6 mois des ventes totales mensuelles.

Sélectionnez la cellule intitulée "ARMA(1,0)" et cliquez sur l'icône Prévision dans la barre d'outils.

Cette figure montre la boîte de dialogue ou l'assistant de prévision NumXL.

Veuillez noter que, à des fins de prévision, la série chronologique utilisée correspond aux derniers chiffres d'affaires totaux (c'est-à-dire ceux du mois dernier). Le tableau des résultats est présenté ci-dessous :

Cette figure montre le tableau de sortie des prévisions pour le total des ventes mensuelles.

Remarque : les valeurs prévues se rapprochent de la moyenne à long terme du modèle de 50,65 ($\phi_o$ ), et les erreurs de prévision approchent 1,8 ; l'écart-type marginal (c'est-à-dire inconditionnel) à long terme du modèle.

Enfin, tracez la moyenne des prévisions et l'intervalle de confiance pour les 9 à 12 prochains mois, comme indiqué ci-dessous :

Cette figure montre le tracé des prévisions de ventes avec les limites de l'intervalle de confiance ou la région.

Conclusion

Maintenant que nous avons sélectionné le modèle ARMA(1,0) ou AR(1) comme étant le mieux adapté aux données de l'échantillon, nous examinons les implications pratiques de sa représentation. Le modèle indique une corrélation significative pour les chiffres de vente entre des mois consécutifs.

En outre, environ quarante-cinq pour cent (45%) des affaires de vente (que l'entreprise X a remportées) sont conclues dans un cycle de deux mois :

$$ r = \frac{\phi_1}{1+\phi_1}=\frac{0.82}{1.82}=45\% $$

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