Notre service d'assistance reçoit parfois des questions sur l'exposant de Hurst : qu'est-ce que c'est ? Comment l'utiliser dans Excel ? Et comment interpréter les valeurs calculées ? Dans cet article, nous allons examiner en détail l'exposant de Hurst afin de vous aider à développer votre intuition et votre compréhension de ce concept.
Qu'est-ce que l'exposant de Hurst ?
Le nom "exposant de Hurst", "indice de Hurst" ou "coefficient de Hurst" provient de Harold Edwin Hurst (1880-1978), qui était le chercheur principal de ces études. Les études impliquant l'exposant de Hurst ont été initialement développées en hydrologie pour déterminer le dimensionnement optimal des barrages pour les conditions de pluie et de sécheresse volatiles du fleuve Nil qui ont été observées sur une longue période.
L'exposant de Hurst (H) est utilisé pour mesurer la mémoire à long terme des séries temporelles. Il est lié aux autocorrélations de la série temporelle et à la vitesse à laquelle celles-ci diminuent à mesure que le décalage entre les paires de valeurs augmente. L'exposant de Hurst est souvent appelé "indice de dépendance" ou "indice de dépendance à long terme".
Qu'est-ce que la mémoire longue d'un processus ?
La mémoire longue, également appelée dépendance à long terme (LRD) ou persistance à long terme, est un phénomène qui peut survenir dans les données de séries temporelles. Il s'agit du taux de décroissance de la dépendance statistique de deux points au fur et à mesure que le temps qui les sépare augmente.
Le processus ARMA (P, Q) présente-t-il une mémoire longue ? Non ! Un processus ARMA stationnaire avec des ordres P et Q finis, ARMA(P, Q), a une mémoire courte. Vous pouvez examiner le graphique de la fonction d'autocorrélation (ACF) dont la valeur décroît de manière exponentielle et disparaît après quelques décalages.
Comment se comporte un modèle à mémoire longue ?
En général, un processus à mémoire longue peut ressembler à une marche aléatoire lente (dérive), avec une fonction d'autocorrélation qui décroît lentement. Prenons par exemple le niveau moyen mensuel de dioxyde de carbone (CO2) enregistré à la station météorologique de Mauna Loa, à Hawaï.
Ensuite, éliminons la saisonnalité sur 12 mois en différenciant la valeur de chaque observation par rapport à une observation antérieure de 12 mois.
Dans le corrélogramme, les facteurs d'autocorrélation (ACF) diminuent, mais à un rythme très lent.
Comment modéliser les séries chronologiques à mémoire longue ? Tout comme nous l'avons fait dans le modèle ARIMA non stationnaire : nous extrayons la composante d'intégration fractionnaire et capturons la mémoire courte dans les résidus à l'aide d'un modèle ARMA.
À l'aide de l'opérateur de différence fractionnaire, nous capturons la dynamique à mémoire longue dans une série chronologique :
\[{(1 - L)^d} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} d\\ k \end{array}} \right)} {( - 1)^k}{L^k} = 1 + {\omega _1}L + {\omega _2}{L^2} + ...\]
Where:
- $L$ = Opérateur de décalage ou de rétrocontrôle
- ${\omega _1} = - d$
- ${\omega _2} = - \frac{{{\omega _1} \times (d - 1)}}{2}$
- ${\omega _N} = - \frac{{{\omega _{N - 1}} \times (d - N - 1)}}{N}$
Pour $\left| d \right| \le \frac{1}{2}$, le coefficient ${\omega _k}$ décroît relativement rapidement (mais plus lentement que la décroissance exponentielle).
En combinant le tout, nous obtenons un ARIMA fractionnaire (c.-à-d. FARIMA)
\[(1 - {\phi _1}L - {\phi _2}{L^2} - ... - {\phi _p}{L^p}){(1 - L)^d}{X_t} = (1 + {\theta _1}L + {\theta _2}{L^2} + ... + {\theta _q}{L^q}){a_t}\]
Where:
- $L$ = Opérateur de décalage ou de rétrocontrôle
- ${X_t}$ = série de données temporelles
- ${a_t}$ = série chronologique des innovations (ou des chocs)
- $d$ = l'ordre d'intégration, et sa valeur entre -0,5 et 0,5, exclusivement.
Comment déterminer l'ordre d'intégration (d) ? L'ordre d'intégration fractionnaire (d) est égal à l'exposant de Hurst (H) moins 0,5 (c'est-à-dire d = H - 0,5).
Interprétation
En bref, l'exposant de Hurst est une valeur unique (H), que nous pouvons utiliser pour tirer une observation sur la longue mémoire de la série temporelle (corrélation sérielle) :
| H | Interpretation | |
|---|---|---|
| 0.5 - 1.0 | une série temporelle présentant une autocorrélation positive à long terme | |
| 0.0 - 0.5 | indique une série temporelle présentant une commutation à long terme entre des valeurs élevées et faibles dans des paires adjacentes, ce qui signifie qu'une valeur faible suivra probablement une valeur élevée unique et que la valeur suivante aura tendance à être élevée, cette tendance à la commutation entre des valeurs élevées et faibles se prolongeant longtemps dans l'avenir. | |
| 0.5 | une série totalement décorrélée, mais en fait, c'est la valeur applicable aux séries pour lesquelles les autocorrélations à des retards de courte durée peuvent être positives ou négatives mais où les valeurs absolues des autocorrélations décroissent exponentiellement rapidement jusqu'à zéro. |
Important : pour une série chronologique dont l'exposant de Hurst est égal à 0,5, nous concluons que la série chronologique n'a pas de mémoire longue (ou dépendance à long terme), mais cela ne signifie pas pour autant que la série chronologique est un bruit blanc, car il peut y avoir un ou plusieurs facteurs d'autocorrélation significatifs à des ordres de décalage inférieurs.
Calcul
La méthode originale et la plus connue pour estimer l'exposant de Hurst est l'analyse dite de la plage rééchelonnée (R/S), basée sur les résultats hydrologiques antérieurs de Hurst.
La fonction NumXL Hurst(.) calcule l'exposant de Hurst original (empirique) lorsque vous définissez le type de retour = 1.
=Hurst(X, Alpha, 1)
Toutefois, cette approche est connue pour produire des estimations biaisées. Pour un échantillon de petite taille, on observe un écart significatif par rapport aux pentes de 0,5 (c'est-à-dire une absence de corrélation à long terme).
Estimation corrigée de la taille (Anis-Llyod)
Pour corriger le biais intégré dans l'estimation originale (empirique) de l'exposant de Hurst, Anis-LIyod a introduit une estimation corrigée de la taille de l'intervalle rééchelonné (R/S).
La fonction NumXL Hurst(.) calcule l'exposant de Hurst d'Anis-Llyod (R/S corrigé) lorsque vous définissez le type de retour = 2.
= Hurst(X,Alpha,2)
Signification statistique
Aucune théorie de distribution asymptotique n'a été dérivée pour la plupart des estimateurs de l'exposant de Hurst jusqu'à présent. Cependant, nous disposons d'une forme fonctionnelle approximative pour les intervalles de confiance de l'analyse R/S corrigée d'Anis-Lloyd.
Pour examiner la signification statistique de l'estimation de l'exposant de Hurst calculé(), nous construisons le test d'hypothèse suivant :
\[\begin{array}{l} {{\rm{H}}_o}:{H_q} = {\rm{ uncorrelated}}\\ {{\rm{H}}_1}:{H_q} = {\rm{ long - memory}} \end{array}\]
Ensuite, nous calculons l'estimation de l'exposant de Hurst correspondant et les limites de l'intervalle de confiance d'une série temporelle non corrélée (sans mémoire longue) pour une taille d'échantillon donnée.
La fonction NumXL Hurst(.) calcule l'exposant de Hurst d'Anis-Llyod (R/S corrigé) pour des séries temporelles non corrélées de même taille lorsque le type de retour est fixé à 3.
= Hurst(X,Alpha,3)
La fonction NumXL Hurst(.) calcule les limites inférieure et supérieure de l'intervalle de confiance de l'exposant de Hurst d'Anis-Llyod de la série temporelle non corrélée lorsque vous définissez le type de retour à 4 et 5, respectivement.
LL= Hurst(X,Alpha,4)
UL= Hurst(X,Alpha,5)
Enfin, nous examinons la valeur de l'exposant de Hurst d'Anis-Llyod (R/S corrigé) par rapport à l'I.C. de l'hypothèse nulle (séries chronologiques non corrélées).
- L'estimation de l'exposant de Hurst se situe en dehors de l'intervalle de confiance ; la série temporelle a donc une longue mémoire.
- L'exposant de Hurst se situe à l'intérieur de l'intervalle de confiance, ce qui signifie que la série temporelle ne présente pas de propriété de mémoire longue significative et que les observations peuvent être non corrélées.
Analyse de l'exposant de Hurst dans Excel
Examinons le logarithme du niveau de CO2 désaisonnalisé sur 12 mois entre mars 1958 et novembre 2020.
L'estimation de l'exposant de Hurst R/S corrigée selon Anis-Llyod est de 0,84, et cette valeur se situe en dehors de l'intervalle de confiance de l'exposant de Hurst d'une série chronologique non corrélée de même taille. La série chronologique désaisonnalisée du niveau logarithmique du CO2 présente un comportement à longue mémoire, et l'ordre de différence fractionnaire (d) est de 0,34 (c'est-à-dire 0,84 - 0,50 = 0,34).
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