与えられた時系列が単なるホワイトノイズかどうかをテストするには？

統計学的に、時系列 ${x_t}$ は、${x_t}$ が平均がゼロで有限分散を持つ連続的に相関のないランダム変数の列である場合、Excel における弱い白色テスト（白色ノイズ）を満たすものと特徴付けられます。強い白色ノイズは、独立かつ同一分布であるという性質も持ち、これにより自己相関がないことが示されます。

特に、$x_t$ が平均 0 で標準偏差 $\sigma$ の正規分布に従う場合、その数列はガウス白色雑音（Excel では「白色テスト」）と呼ばれます。

統計テスト

データ系列に連続相関の証拠があるかどうかを検証するため、私たちはLjung‐Box統計検定と修正された$Q^*(m)$統計量を使用します。

ルング・ボックス・テスト：

$$H_o:\rho_1=\rho_2=\rho_3=...=\rho_m=0 $$ $$ H_1:\exists \rho_{1\leqslant k\leq m} \neq 0$$

どこで:

• $H_o$: 帰無仮説（ホワイトノイズ）
• $H_1$: 代替仮説（ホワイトノイズではない）
• $m$: テストの上限遅延時間。上限遅延時間は、当社で設定するか、または関数に適切な限界値を選択させるように設定できます。実務では、$m$の適切な値として$\ln{T}$が使用されます。

リュング・ボックス統計量

Ljung‐Box統計量（すなわち$Q^*(m)$）は、特に小標本サイズにおいて古典的な$\chi^2$検定を拡張した統計量です。

$$Q^*(m)=T(T+2)\sum_{j=1}^m{\frac{\rho_j^2}{T-j}} Q^*(m)\sim \chi_{\nu=m}^2$$

これは片側検定です。p値が有意水準（$\alpha$）を超える場合、帰無仮説を棄却しないこと、つまり時系列データはExcelにおける白色テスト（白色ノイズ）であることが示されます。

WNTest

NumXLのWNTest関数は、サンプルデータに対する$Q^*(m)$統計量のP値を計算します。上側遅延限界($m$)はデフォルトで$\ln{T}$に設定されていますが、ユーザーはこのパラメーターに値を指定することでこの値を上書きできます。

例: NumXLの記述統計フォームを使用して、さまざまな要約統計量を計算し、Ljung-Box 白色雑音検定（WNTest）を含む各種検定を実施しました。

要約統計とテスト：

Ljung-Box 白色ノイズ検定（Excel での白色検定）の P 値は有意水準（すなわち $\alpha$）よりも大きいため、白色ノイズ仮説（$H_o$）を棄却しません。または、単純に言うと、時系列相関の統計的証拠はないため、データは白色ノイズである可能性があります。

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