NumXLクックブック - GARCHによるボラティリティ予測

ボラティリティの意義とは？ まず、ボラティリティ（標準偏差）は市場リスクの重要な指標である。 第二に、ボラティリティはデリバティブ（オプションなど）の価格決定によく使われる。

本論文では、Microsoft Excel内のNumXLアドインを使用して、S&P 500市場指数データを堅牢なボラティリティ予測に変換するための必要な手順を説明します。

ここでは、S&P500ETF（別名SPDR）の価格を米国大型株市場の代理として使用する。 さらに、2000年1月から2012年2月までの月次価格（月初集計）を使用している。

ここでの目的は、今後12ヶ月間（すなわち2013年2月末まで）のモデルベースのボラティリティ予測を構築することである。

ステップ1：月次収益

SPDR価格の時系列は非定常であるため、多くの時系列分析や計量経済学的分析には適さない。 したがって、まず月次リターンに変換した。 さらに、単純リターンは定義上マイナス 1（-100%）より低くなることはないため、時系列の値を広げるために単純リターンより対数リターンを選択した。

下のグラフでは、12ヵ月加重移動平均（WMA）と指数加重ボラティリティ（EWMA）の時系列をプロットし、平均とボラティリティの時間的変動を示している。

ボラティリティ予測（EWMAによる代理）は（リターンとは異なり）滑らかに動くが、プラスのリターン相場よりもマイナスのリターン相場に敏感であることに留意されたい。

ステップ2：要約統計

それでは、データの理解を深めるために、月次リターンのサンプルの記述統計（平均、標準偏差など）を計算してみよう。 NumXL のビルトイン関数を利用することで、過去の市場トレンドを要約する一連の統計量を計算することができます。

要約統計ウィザードを使用して、入力データセット（例えば、H列のセル範囲を返す）を "時系列 "タブに入力し、開始セルを出力範囲に入力し、OKをクリックする。

生成された出力表を以下に示す。 サマリー統計ウィザードは、各データ列の最初の行で指定されたラベルを使用して、各出力の数式を書き込みます。

出力表を検証すると、対数リターンの分布は負のスキュー（左に偏る）とファット・テールを示している。 さらに、ホワイトノイズテストの結果は、リターン間に有意な系列相関がないことを示している。 まとめると、これらの結果は、これらのデータが GARCH 型モデルで十分に表現できることを示している。

ステップ3：E-GARCHモデリング

初期の段階で、ボラティリティ予測（代理EWMA）がマイナスのリターン（景気後退）に対しては、プラスのリターンとは異なる反応を示すことを指摘した。 幸いなことに、指数GARCH（E-GARCH）はこの現象を捉えることができます。

NumXL は、3 種類の残差分布をサポートしている：(1) ガウス分布、(2) 一般化誤差分布 (GED) および (3) スチューデントの t 分布。 サンプルデータは比較的低い過剰尖度を示しているため、GARCHモデルは過剰尖度全体を捕捉し、残差は正規分布（すなわちガウス分布）になります。

入力データセットをTime Seriesに入力し、出力範囲のセルを入力した後、モデルを選択することができ、モデル固有のパラメーターを入力してプライムする必要がある。 これらの値はまだ知られていないが、粗く知的な推測を入力する必要があることに注意されたい。

要約統計量と同様に、E-GARCH 出力表のセルは、数式を介してソース入力データに接続されている。

ステップ4：E-GARCHキャリブレーション

(1)「EGARCH(1,1)」と表示されたセルを選択し、(2)Calibrate アイコンまたはメニュー項目をクリックし、最後に(3)Solve ボタンをクリックする。

MS Excelソルバーは、係数の値を変更することによって対数尤度関数（LLF）を最大化します。

ステップ5：残留診断

E-GARCHモデルの係数がキャリブレーションされたら、モデルの標準化残差がモデルの基本的な仮定（すなわち正規分布）を満たしていることを確認するために、モデルの標準化残差を調べることができます。

残差診断表を用いると、高次（つまり2次）従属性の存在を示唆するARCHテストを除いて、すべてのテストが合格していることがわかる。 本稿では、キャリブレーションされたモデルを採用する。

GARCHモデル・ファミリーは、ボラティリティにとって一般的で重要な現象である平均回帰を捉えている。 E-GARCHモデルを使用すると、長期月次ボラティリティは4.66%（年率16.14%）と推定される。

ステップ6：ボラティリティ予測

GARCHモデル・ファミリーは、ワンステップ（すなわち、ローカル）のボラティリティの時間的変動を記述するが、実際には、マルチステップ（すなわち、グローバルまたはターム）にまたがるボラティリティ値が必要である。 本稿では、今後 12 ヶ月間のローカル・ボラティリティとター ム・ボラティリティの両方を用意する。

そのためには、(1) "EGARCH(1,1)" のテキストがあるセルを選択する。 (2) "Forecast" アイコンまたはメニューをクリックし、最新の (3) 実現リターンと (4) ボラティリティを選択し、(5) 予測ホライズンを変更し、(6) 出力場所を指定する。 最後に「OK」を選択する。

備考

1. 1. 入力データは、最新の観測データでなければならない。 E-GARCH (1, 1)モデルの場合、少なくとも1つまたは2つの観測されたリターンが必要です。
2. 2. 実現ボラティリティ予測（入力データ）は直近のボラティリティである。 ボラティリティは直接観測されないので、好きな方法で計算する必要がある。 この例では、12ヶ月の窓の標準偏差を使用しています。

NumXL予想が出力する表は以下の通りである：

E-GARCHモデルは、現在が歴史的に低ボラティリティの領域にあるとし、全体的なボラティリティが長期的な水準（月4.66％または年16.14％）まで上昇（平均回帰）すると予測している。

具体的には、2012 年 2 月（すなわち 2012 年 3 月 1 日）のボラティリティは、2012 年 1 月の 4.66％よりも低い。ただし、このボラティリティは 3 月には長期平均値である 4.66％に戻るため、上昇すると予想される。

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