주어진 시계열이 백색 잡음인지 테스트하려면 어떻게 해야 하나요?

통계적 의미에서 시간열 ${x_t}$는 ${x_t}$가 평균 0과 유한 분산을 가진 연속적으로 상관관계가 없는 임의 변수의 시퀀스일 경우 Excel에서 약한 백색 검정(백색 잡음)을 충족한다고 특징지을 수 있습니다. 강한 백색 잡음은 독립적이고 동일 분포를 갖는 특성을 추가로 갖으며, 이는 자기상관성이 없다는 것을 의미합니다.

특히, $x_t$가 평균 0과 표준편차 $\sigma$를 가진 정규 분포를 따르는 경우, 이 수열은 가우시안 백색 잡음(Excel에서 백색 테스트)이라고 합니다.

통계 테스트

시계열 데이터에 시계열 상관관계의 증거를 확인하기 위해 우리는 Ljung-Box 통계 검정과 수정된 $Q^*(m)$ 통계를 사용합니다.

Ljung-Box 검정:

$$H_o:\rho_1=\rho_2=\rho_3=...=\rho_m=0 $$ $$ H_1:\exists \rho_{1\leqslant k\leq m} \neq 0$$

어디:

• $H_o$: 가설 없음(백색 잡음)
• $H_1$: 대체 가설(백색 잡음이 아님)
• $m$: 시험의 상한 지연 한계. 상한 지연 한계는 우리에 의해 설정될 수 있으며, 또는 기능이 적절한 한계를 선택하도록 할 수 있습니다. 실무자들은 $m$의 적절한 값으로 $\ln{T}$를 사용합니다.

정박스 통계

Ljung-Box 통계량(즉, $Q^*(m)$)은 특히 작은 표본 크기에서 전통적인 $\chi^2$ 검정보다 개선된 방법입니다.

$$Q^*(m)=T(T+2)\sum_{j=1}^m{\frac{\rho_j^2}{T-j}} Q^*(m)\sim \chi_{\nu=m}^2$$

이것은 일측 검정입니다. p-값이 유의수준($\alpha$)보다 크면 귀무 가설을 기각하지 않으며, 다른 말로 하면 해당 시계열은 Excel에서 백색 잡음(white noise)으로 간주됩니다.

WNTest

NumXL의 WNTest 함수는 샘플 데이터에 대한 $Q^*(m)$ 통계량의 P-값을 계산합니다. 상한 지연 한계($m$)는 기본적으로 $\ln{T}$로 설정되어 있지만, 사용자는 이 매개변수에 값을 전달하여 이 값을 재설정할 수 있습니다.

예시: NumXL 설명 통계 양식을 사용하여 다양한 요약 통계를 계산하고 Ljung-Box 백색 잡음 테스트(WNTest)를 포함한 여러 검정을 수행했습니다.

요약 통계 및 테스트:

Ljung-Box 백색 잡음 테스트(Excel의 백색 테스트)의 P-값이 유의수준(즉, $\alpha$)보다 크기 때문에 백색 잡음 가설($H_o$)을 기각하지 않습니다. 또는 간단히 말해, 시계열 상관관계의 통계적 증거가 없으므로 데이터는 백색 잡음일 수 있습니다.

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