NumXL 쿡북 - GARCH를 사용한 변동성 예측

변동성의 의미는 무엇인가요? 첫째, 변동성 또는 표준편차는 시장 위험을 나타내는 중요한 척도입니다. 둘째, 파생상품(예: 옵션) 상품의 가격을 책정하는 데 자주 사용됩니다.

이 논문에서는 Microsoft Excel 내의 NumXL Add-in을 사용하여 S&P 500 시장 지수 데이터를 견고한 변동성 예측으로 변환하는 데 필요한 몇 가지 단계를 설명합니다.

이를 위해 미국 대형주 주식 시장의 프록시로 S&P 500 ETF(일명 SPDR) 가격을 사용하고 있습니다. 또한 2000년 1월부터 2012년 2월까지의 월별 가격(월 초에 표로 작성)을 사용하고 있습니다.

여기서 목표는 향후 12개월(즉, 2013년 2월 말까지) 동안의 모델 기반 변동성 예측을 구축하는 것입니다.

1단계: 월별 수익률

SPDR 가격의 시계열은 고정되어 있지 않으므로 많은 시계열 또는 계량 분석에 적합하지 않습니다. 따라서 먼저 월별 수익률로 변환했습니다. 또한, 정의상 단순 수익률은 마이너스 1(-100%)보다 낮을 수 없기 때문에 시계열의 값을 분산시키기 위해 단순 수익률보다 로그 수익률을 선택했습니다.

아래 그래프에서는 12개월 가중 이동 평균(WMA)과 지수 가중 변동성(EWMA) 시계열을 그려서 시간에 따른 평균과 변동성의 변화를 보여 주었습니다.

변동성 예측(EWMA 대리)은 수익률과 달리 순조롭게 움직이지만 수익률 상승장보다 마이너스 수익률에 더 민감하다는 점에 유의하세요.

2단계: 요약 통계

이제 데이터를 더 잘 이해할 수 있도록 월별 수익률 샘플의 평균, 표준 편차 등 기술 통계를 계산해 보겠습니다. 그림과 같이 NumXL의 기본 제공 함수를 활용하여 과거 시장 추세를 요약하는 통계 세트를 생성할 수 있습니다.

요약 통계 마법사를 사용하여 '시계열' 탭에 입력 데이터 집합(예: H 열의 반환 셀 범위)을 입력하고 출력 범위에는 시작 셀을 입력한 다음 확인을 클릭합니다.

생성된 출력 테이블은 아래와 같습니다. 출력 테이블의 셀은 입력 데이터 소스에 연결되어 있으며 요약 통계 마법사는 각 데이터 열의 첫 번째 행에 지정된 레이블을 사용하여 각 출력의 수식을 작성합니다.

출력 표를 살펴보면 로그 수익률 분포가 음의 스큐(왼쪽으로 치우침)와 팻테일(지방 꼬리)을 나타내고 있음을 알 수 있습니다. 또한 백색 잡음 테스트 결과는 수익률 간에 유의미한 직렬 상관관계가 없음을 나타냅니다. 요약하면, 이러한 결과는 이러한 데이터가 GARCH 유형 모델로 잘 표현될 수 있음을 나타냅니다.

3단계: E-GARCH 모델링

초기에 우리는 변동성 예측(프록시 EWMA)이 플러스 수익률과 마이너스 수익률(하락)에 다르게 반응한다는 점에 주목했습니다. 다행히도 지수 GARCH(E-GARCH)는 이러한 현상을 포착합니다.

NumXL은 잔차에 대해 (1) 가우스 분포, (2) 일반화된 오차 분포(GED), (3) 학생의 t 분포 등 세 가지 유형의 분포를 지원합니다. 샘플 데이터는 상대적으로 낮은 초과 첨도를 나타내므로 GARCH 모델은 전체 초과 첨도를 포착하여 잔차가 정규 분포(즉, 가우스)가 될 수 있도록 합니다.

시계열과 출력 범위 셀에 입력 데이터 세트를 입력한 후 모델을 선택할 수 있으며, 모델별 파라미터를 입력하여 프라이밍해야 합니다. 이러한 값은 아직 알 수 없으므로 조잡하고 지능적인 추측을 입력해야 한다는 점에 유의하세요.

요약 통계에서와 마찬가지로, E-GARCH 출력 테이블의 셀은 수식을 통해 소스 입력 데이터에 연결됩니다.

4단계: E-GARCH 보정

샘플 데이터로 모델을 맞추려면(즉, 보정하려면) (1) "EGARCH(1,1)"이라고 표시된 셀을 선택하고, (2) 보정 아이콘 또는 메뉴 항목을 클릭한 다음, (3) 풀기 버튼을 클릭합니다.

MS Excel 솔버는 계수 값을 변경하여 로그 확률 함수(LLF)를 최대화합니다.

5단계: 잔여 진단

E-GARCH 모델의 계수가 보정되면 모델의 표준화된 잔차를 검사하여 모델의 기본 가정(즉, 정규 분포)을 만족하는지 확인할 수 있습니다.

잔여 진단 표를 사용하면 고차(즉, 이차) 종속성이 있음을 시사하는 ARCH 테스트를 제외한 모든 테스트가 통과되었음을 알 수 있습니다. 이 백서의 목적상 보정된 모델을 사용하기로 합니다.

GARCH 모델 제품군은 변동성에 대한 일반적이고 중요한 현상인 평균회귀를 포착합니다. E-GARCH 모델을 사용하면 장기 월간 변동성은 4.66%(또는 연간 16.14%)로 추정됩니다.

6단계: 변동성 예측

GARCH 모델군은 시간에 따른 한 단계(즉, 로컬) 변동성의 변화를 설명하지만, 실제로는 여러 단계(즉, 글로벌 또는 기간)에 걸친 변동성 값이 필요합니다. 이 백서에서는 향후 12개월 동안의 로컬 변동성과 기간 변동성을 모두 준비하겠습니다.

이를 수행하려면 (1) "EGARCH(1,1)" 텍스트가 있는 셀을 선택하고 (2) "예측" 아이콘 및 메뉴를 클릭합니다. 텍스트, (2) "예측" 아이콘 또는 메뉴를 클릭하고, (3) 최신 수익률 및 (4) 변동성을 선택하고, (5) 예측 기간을 변경하고, (6) 출력 위치를 지정합니다. 마지막으로 "확인"을 선택합니다.

참고

1. 1. 입력 데이터는 가장 최근의 관측치를 나타내야 합니다. E-GARCH(1, 1) 모델의 경우 최소 하나 또는 두 개의 관측 수익률이 필요합니다.
2. 2. 실현 변동성 예측(입력 데이터)은 가장 최근의 변동성입니다. 변동성이 직접 관측되지 않으므로 선호하는 방법을 사용하여 계산해야 합니다. 이 예에서는 12개월 창 표준 편차를 사용했습니다.

NumXL 예측에 의한 테이블 출력은 다음과 같습니다:

E- GARCH 모델에 따르면 현재 역사적으로 변동성이 낮은 영역에 있으며, 전체 변동성이 장기 수준(4.66%/월 또는 16.14%/년)으로 상승(평균 반등)할 것으로 예측합니다.

구체적으로 2012년 2월 한 달(즉, 2012년 3월 1일 마감)의 변동성은 장기 기준선인 4.66%보다 낮기 때문에 2012년 1월보다 낮은 변동성을 보일 것으로 예상되지만 3월에는 장기 평균인 4.66%로 회복되면서 변동성이 높아질 것으로 예상됩니다.

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