Excel의 허스트 지수

가끔 우리 지원 팀은 허스트 지수에 대한 문의가 들어옵니다: 무엇인가요? 엑셀에서 어떻게 사용하나요? 그리고 계산된 값을 어떻게 해석해야 하나요? 이번 기사에서는 허스트 지수를 자세히 설명드리며, 이를 통해 허스트 지수에 대한 직관과 이해를 키우는 데 도움이 되길 바랍니다.

허스트 지수란 무엇인가요?

'허스트 지수', '허스트 지수' 또는 '허스트 계수'라는 이름은 이 연구를 주도한 해롤드 에드윈 허스트(1880~1978)의 이름에서 유래했습니다. 허스트 지수와 관련된 연구는 수문학 분야에서 오랜 기간 동안 관찰된 나일강의 변동성이 심한 강우와 가뭄 조건에 맞는 최적의 댐 규모를 결정하기 위한 실용적인 문제를 해결하기 위해 처음 개발되었습니다.

허스트 지수(H)는 시계열의 장기 기억을 측정하는 척도로 사용됩니다. 이는 시계열의 자기 상관 관계와 값 쌍 사이의 지연이 증가함에 따라 감소하는 속도와 관련이 있습니다. 허스트 지수는 종종 "의존성 지수" 또는 "장거리 의존성 지수"라고도 불립니다.

프로세스의 긴 메모리란 무엇인가요?

장거리 의존성(LRD) 또는 장거리 지속성이라고도 하는 장거리 메모리는 시계열 데이터에서 발생할 수 있는 현상입니다. 이는 두 점 사이의 시간이 증가함에 따라 두 점의 통계적 의존성의 감쇠율과 관련이 있습니다.

ARMA(P, Q) 과정은 장기 기억 특성을 나타내나요? 아니요! 유한한 P와 Q 차수를 가진 정적 ARMA(P, Q)는 단기 기억 특성을 가집니다. 자기상관 함수(ACF) 그래프를 확인하면, 그 값이 지수적으로 감소하고 몇 개의 지연 후 사라지는 것을 확인할 수 있습니다.

롱메모리 모델은 어떻게 작동하나요?
일반적으로 메모리가 긴 프로세스는 느리게 감소하는 자기 상관 함수가 있는 느린 랜덤 워크(드리프트)처럼 보일 수 있습니다. 예를 들어 하와이 마우나로아 기상 관측소에 기록된 월평균 이산화탄소(CO2) 수치를 살펴봅시다.

다음으로, 각 관측값의 12개월 전 값과 12개월 전 값을 다르게 하여 12개월 계절성을 제거해 보겠습니다.

상관관계 그래프에서 자동 상관관계 계수(ACF)가 감소하고 있지만 그 속도는 매우 느립니다.

장기 기억 시간 시리즈를 어떻게 모델링하나요? 비정역 ARIMA 모델에서와 마찬가지로: 분수 통합 성분을 추출하고 잔차에 ARMA 모델을 적용하여 단기 기억을 포착합니다.

분수 차분 연산자를 사용하여 시간열 데이터에서 장기 기억 동역학을 포착합니다:

\[{(1 - L)^d} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} d\\ k \end{array}} \right)} {( - 1)^k}{L^k} = 1 + {\omega _1}L + {\omega _2}{L^2} + ...\]

어디:

• $L$ = 지연 또는 백시프트 연산자
• ${\omega _1} = - d$
• ${\omega _2} = - \frac{{{\omega _1} \times (d - 1)}}{2}$
• ${\omega _N} = - \frac{{{\omega _{N - 1}} \times (d - N - 1)}}{N}$

$\left| d \right| \le \frac{1}{2}$일 때, 계수 ${\omega _k}$는 지수적 감쇠보다 느리지만, 지수 함수처럼 상대적으로 빠르게 감쇠합니다.

이 모든 것을 종합하면, 결국 분수 아리마(즉, FARIMA)가 됩니다.

\[(1 - {\phi _1}L - {\phi _2}{L^2} - ... - {\phi _p}{L^p}){(1 - L)^d}{X_t} = (1 + {\theta _1}L + {\theta _2}{L^2} + ... + {\theta _q}{L^q}){a_t}\]

어디:

• $L$ = 지연 또는 백시프트 연산자
• ${X_t}$ = 시계열 데이터 집합
• ${a_t}$ = 혁신(또는 충격) 시계열
• $d$ = 통합 순서와 -0.5에서 0.5 사이의 값(배타적)을 지정합니다.

통합 차수(d)를 어떻게 구하나요? 분수 통합 차수(d)는 허스트 지수(H)에서 0.5를 뺀 값과 같습니다(즉, d = H - 0.5).

해석

간단히 말해, 허스트 지수는 단일 값(H)으로, 시계열 장기기억(직렬 상관관계)에 대한 관찰을 도출하는 데 사용할 수 있습니다:

중요: 허스트 지수(Hurst exponent)가 0.5인 시계열에 대해, 해당 시계열이 장기 기억(또는 장기 의존성)을 갖지 않는다고 결론지을 수 있습니다. 그러나 이는 시계열이 백색 잡음(white noise)이라고 말하는 것과 동일하지 않습니다. 왜냐하면 낮은 지연 차수(lag-order)에서 하나 이상의 유의미한 자기상관 인자(auto-correlation factor)가 존재할 수 있기 때문입니다.

계산

허스트 지수를 추정하는 가장 잘 알려진 방법은 허스트의 이전 수문학적 연구 결과를 기반으로 한 소위 재조정 범위(R/S) 분석입니다.

그러나 이 접근법은 편향된 추정치를 생성하는 것으로 알려져 있습니다. 표본 크기가 작은 경우 0.5 기울기(즉, 상관관계가 없는 장거리)에서 상당한 편차가 있습니다.

크기 보정(Anis-Llyod) 추정치

원래의 (경험적) 허스트 지수 추정치에 내장된 편향을 수정하기 위해 Anis-LIyod는 재조정된 범위(R/S)의 크기 보정 추정치를 도입했습니다.

통계적 유의성

지금까지 대부분의 허스트 지수 추정치에 대한 점근 분포 이론은 도출되지 않았습니다. 그러나 Anis-Lloyd 보정 R/S 분석의 신뢰 구간에 대한 대략적인 함수 형식은 있습니다.

계산된 허스트 지수 추정치()의 통계적 유의성을 검사하기 위해 다음과 같은 가설 테스트를 구성합니다:

\[\begin{array}{l} {{\rm{H}}_o}:{H_q} = {\rm{ uncorrelated}}\\ {{\rm{H}}_1}:{H_q} = {\rm{ long - memory}} \end{array}\]

다음으로, 주어진 샘플 크기에 대해 해당 허스트 지수 추정치와 상관관계가 없는(장기기억이 없는) 시계열의 신뢰 구간(C.I.) 한계를 계산합니다.

마지막으로, 귀무가설(상관관계가 없는 시계열)의 C.I. 대비 Anis-Llyod(수정된 R/S) 허스트 지수 값을 살펴봅니다.

• 허스트 지수 추정치는 C.I. 외부에 있으므로 시계열의 메모리가 길어집니다.
• 허스트 지수는 C.I. 내부에 있으므로 시계열은 유의미한 장기기억 특성을 나타내지 않으며, 관측값은 서로 상관관계가 없을 수 있습니다.

Excel의 허스트 지수 분석

1958년 3월부터 2020년 11월까지 12개월간의 비계절화 로그 CO2 수준을 살펴보겠습니다.

Anis-Llyod 보정된 R/S 허스트 지수 추정치는 0.84이며, 이 값은 동일한 크기의 상관관계가 없는 시간 시리즈의 허스트 지수 신뢰 구간(C.I.) 외부에 위치합니다. 계절 요소를 제거한 이산화탄소 로그 수준 시간열은 장기 기억 특성을 나타내며, 분수 차분 차수(d)는 0.34입니다(즉, 0.84 - 0.50 = 0.34).