Como posso testar se uma determinada série temporal é apenas ruído branco?

Em termos estatísticos, uma série temporal ${x_t}$ é caracterizada como tendo um teste branco fraco no Excel (ruído branco) se ${x_t}$ for uma sequência de variáveis aleatórias seriamente não correlacionadas com média zero e variância finita. O ruído branco forte também tem a qualidade de ser independente e identicamente distribuído, o que implica ausência de autocorrelação.

Em particular, se $x_t$ é normalmente distribuído com média zero e desvio padrão $\sigma$, a série é chamada de ruído branco gaussiano (teste branco no Excel).

Testes estatísticos

Para examinar a série de dados em busca de evidências de qualquer correlação serial, utilizamos o teste estatístico de Ljung-Box e as estatísticas $Q^*(m)$ modificadas.

O teste de Ljung-Box:

$$H_o:\rho_1=\rho_2=\rho_3=...=\rho_m=0 $$ $$ H_1:\exists \rho_{1\leqslant k\leq m} \neq 0$$

Where:

• $H_o$: Hipótese nula (ruído branco)
• $H_1$: Hipótese alternativa (não ruído branco)
• $m$: Limite superior de atraso do teste. O limite superior de atraso pode ser definido por nós ou deixado para a função escolher um limite adequado. Os profissionais utilizam $\ln{T}$ como um valor adequado para $m$.

Estatísticas de Ljung-Box

A estatística Ljung-Box (ou seja, $Q^*(m)$) é um aprimoramento do teste clássico $\chi^2$, especialmente para amostras de tamanho pequeno.

$$Q^*(m)=T(T+2)\sum_{j=1}^m{\frac{\rho_j^2}{T-j}} Q^*(m)\sim \chi_{\nu=m}^2$$

Esse é um teste estatístico unicaudal. Um valor p maior que o nível de significância ($\alpha$) nos leva a não rejeitar a hipótese nula ou, em outras palavras, a série temporal é um teste branco no Excel (ruído branco).

WNTest

A função WNTest no NumXL calcula o valor P para as estatísticas $Q^*(m)$ para os nossos dados de amostra. O limite superior de atraso ($m$) é definido por padrão como $\ln{T}$, mas o usuário pode substituir esse valor passando um valor para este parâmetro

Exemplo: Usando o formulário de estatísticas descritivas do NumXL, calculamos as várias estatísticas resumidas e realizamos o teste de ruído branco Ljung-Box (WNTest), entre outros.

As estatísticas e os testes resumidos:

O valor P do teste de ruído branco de Ljung-Box (teste branco no Excel) é maior que o nível de significância (ou seja, $\alpha$), portanto, não rejeitamos a hipótese de ruído branco ($H_o$), ou, em termos simples, não há evidência estatística de uma correlação serial, portanto, os dados podem ser ruído branco.

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