Exemplo de previsão de vendas - Comparação e seleção de modelos

Mohamad

17 de Agosto de 2019 00:28

Este documento aplicará técnicas econométricas para elaborar uma previsão a 6 meses para uma equipa de vendas da empresa X. Utilizaremos como dados de amostra os valores de vendas totais mensais dos últimos 25 meses.

O nosso objetivo é comparar modelos concorrentes e definir uma orientação para selecionar o melhor modelo.

Esta figura mostra o gráfico histórico dos valores totais mensais das vendas.

Etapa 1: Estatísticas resumidas

Utilizando o assistente de Estatística Descritiva (figura abaixo), examine as diferentes estatísticas de resumo para os dados de amostra.

Esta figura mostra o diálogo de estatísticas resumidas para a amostra de dados de vendas.

Na tabela de estatísticas resumidas (abaixo), a série de dados apresenta correlação serial (ou seja, não passou no teste de ruído branco) e caudas gordas (excesso de curtose significativo e efeito ARCH).

Esta figura mostra a tabela de saída de estatísticas sumárias para a amostra do número de vendas mensais.

Etapa 2: Análise do Correlograma

Utilizando a barra de ferramentas do NumXL, inicie o assistente de Correlograma.

Esta figura mostra a caixa de diálogo ou formulário de utilizador do Correlograma.

Realce os dados de registo e selecione 9 desfasamentos para ACF e PACF. Em seguida, crie um correlograma para os dados

Esta figura mostra a tabela de saída ACF e PACF - Saída do Correlograma.

Esta figura mostra o gráfico ACF e PACF com os limites do intervalo de confiança.

Examinando os gráficos ACF e PACF, os dados parecem ser conduzidos a partir de um processo ARMA com uma ordem AR de um(1) e uma ordem MA de dois(2). A amostra de dados é relativamente pequena, pelo que é necessário ter cuidado para não ajustar demasiado os dados com um modelo de ordem elevada.

Etapa 3: Modelação ARMA

Com base no gráfico ACF/PACF, podemos propor um modelo ARMA para os nossos dados. Além disso, a ordem AR ou MA é menor ou igual a dois (2).

$$\left(1-\sum_{i=1}^p{\phi_i L^i}\right)\left(x_t-\mu\right)=\left(1+\sum_{j=1}^q{\theta_j L^j}\right)a_t$$

Onde:

$L$ = o operador de desfasamento ou retrocesso
$\phi_i$ = o i-ésimo coeficiente da componente AR.
$p$ = a ordem da componente autoregressiva (AR).
$x_t$ = o total mensal de vendas no mês $t$
$\mu$ = a média de longo prazo do processo ARMA
$\theta_j$ = o j-ésimo coeficiente da componente MA
$q$ = a ordem do componente da média móvel (MA)
$a_t$ = o resíduo, choque, inovação ou termo de erro no mês $t$.

Nesta secção, utilizaremos uma abordagem de força bruta e examinaremos todas as permutações possíveis do modelo ARMA. Em suma, vamos especificar, calibrar, validar e, finalmente, comparar cada modelo com os outros para determinar o melhor (e mais simples) ajuste.

Etapa 3.1: Especificação do modelo

Esta figura mostra a especificação do Modelo ARMA com o Assistente ARMA ou a caixa de diálogo.

Esta figura mostra a tabela de saída do modelo ARMA para os parâmetros do modelo, a qualidade do ajuste e o diagnóstico dos resíduos.

Etapa 3.2: Calibração do modelo

Selecione a célula no topo da tabela do modelo da companhia aérea (ou seja, "ARMA(1,2)") e clique no ícone Calibração na barra de ferramentas.

Esta figura mostra a calibração ARMA usando o atalho NumXL para inicializar o Excel Solver.

Etapa 3.3: Examinar e validar o modelo calibrado

Para o modelo ARMA(2.1) acima, os novos valores óptimos para os parâmetros do modelo são apresentados abaixo:

Nesta figura, estamos a examinar os resíduos ARMA(2,1) após a calibração dos pressupostos do modelo.

Etapa 3.4: Comparar os modelos e selecionar o melhor

Na folha de cálculo em anexo, repetimos o passo anterior (3.1-3.3) para todos os modelos ARMA de ordem (1,0) a (2,2). A tabela seguinte resume os nossos resultados:

Esta figura mostra o quadro de resumo da qualidade do ajuste de diferentes modelos concorrentes.

O cálculo do critério de informação de Akaike (AIC) tem em conta a complexidade do modelo e penaliza o ajuste à medida que o número de argumentos livres aumenta. Para comparar diferentes modelos, utilizaremos a medida AIC.

Embora os AICs para todos os modelos sejam comparativamente próximos, preferimos o método mais simples e escolhemos ARMA(1,0) ou AR(1).

Esta figura mostra os parâmetros do melhor modelo selecionado - ARMA(1,0)/AR(1).

Esta figura mostra os dados ajustados ao modelo AR(1) traçados juntamente com a amostra original.

Etapa 4: Previsão

Os resíduos do modelo calibrado selecionado satisfazem os pressupostos do modelo ARMA. Agora, estamos prontos para efetuar uma previsão de 6 meses para o total de vendas mensais.

Selecione a célula com a designação "ARMA(1,0)" e clique no ícone Previsão na barra de ferramentas.

Esta figura mostra a Previsão utilizando o diálogo ou assistente de Previsão NumXL.

Note-se que, para efeitos de previsão, a série cronológica de entrada refere-se aos valores totais de vendas mais recentes (ou seja, do mês passado). A tabela de saída é mostrada abaixo:

Esta figura mostra a tabela de saída da Previsão para o total de vendas mensal.

Nota: os valores da previsão estão a afastar-se ao longo do tempo em direção à média de longo prazo do modelo de 50,65 ($\phi_o$ ), e os erros de previsão estão a aproximar-se de 1,8; o desvio padrão marginal (ou seja, incondicional) de longo prazo do modelo.

Por último, desenhe a média da previsão e o intervalo de confiança para os próximos 9-12 meses, como indicado abaixo:

Esta figura mostra o gráfico da Previsão de vendas com limites de intervalo de confiança ou região.

Conclusão

Agora que selecionámos o modelo ARMA(1,0) ou AR(1) como o mais adequado para os dados da amostra, examinamos as implicações práticas da sua representação. O modelo indica uma correlação significativa para os valores de vendas entre meses consecutivos.

Além disso, cerca de quarenta e cinco por cento (45%) dos casos de vendas (que a empresa X ganhou), são fechados num ciclo de dois meses:

$$ r = \frac{\phi_1}{1+\phi_1}=\frac{0.82}{1.82}=45\% $$

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