Как проверить, является ли данный временной ряд просто белым шумом?

В статистическом смысле временной ряд ${x_t}$ характеризуется как имеющий слабый белый тест в Excel (белый шум), если ${x_t}$ является последовательностью последовательно некоррелированных случайных величин с нулевым средним значением и конечной дисперсией. Сильный белый шум также обладает свойством независимости и одинакового распределения, что означает отсутствие автокорреляции.

В частности, если $x_t$ имеет нормальное распределение со средним значением нуль и стандартным отклонением $\sigma$, то ряд называется гауссовым белым шумом (белый тест в Excel).

Статистические испытания

Для анализа рядов данных на наличие серийной корреляции мы используем статистический тест Льюнга-Бокса и модифицированную статистику $Q^*(m)$.

Тест Льюнга-Бокса:

$$H_o:\rho_1=\rho_2=\rho_3=...=\rho_m=0 $$ $$ H_1:\exists \rho_{1\leqslant k\leq m} \neq 0$$

Где:

• $H_o$: Нулевая гипотеза (белый шум)
• $H_1$: Альтернативная гипотеза (не белый шум)
• $m$: Верхний предел задержки теста. Верхний предел задержки может быть установлен нами или оставлен для выбора функцией. Практики используют $\ln{T}$ в качестве подходящего значения для $m$.

Статистика Льюнга-Бокса

Статистика Ljung‐Box (т. е. $Q^*(m)$) является усовершенствованием классического теста $\chi^2$, особенно для небольших выборок.

$$Q^*(m)=T(T+2)\sum_{j=1}^m{\frac{\rho_j^2}{T-j}} Q^*(m)\sim \chi_{\nu=m}^2$$

Это односторонний статистический тест. Значение p, превышающее уровень значимости ($\alpha$), позволяет не отвергать нулевую гипотезу, или, другими словами, временной ряд является белым тестом в Excel (белый шум).

WNTest

Функция WNTest в NumXL вычисляет P-значение для статистики $Q^*(m)$ для наших выборочных данных. Верхний предел лага ($m$) по умолчанию установлен равным $\ln{T}$, но пользователь может переопределить это значение, указав значение для этого параметра.

Пример: Используя форму описательной статистики NumXL, мы вычислили различные сводные статистические показатели и провели, среди прочего, тест белого шума Ljung-Box (WNTest).

Сводная статистика и тесты:

P-значение теста белого шума Льюнга-Бокса (белый тест в Excel) превышает уровень значимости (т. е. $\alpha$), поэтому мы не отвергаем гипотезу белого шума ($H_o$), или, проще говоря, нет статистических доказательств серийной корреляции, поэтому данные могут быть белым шумом.

Обучающее видео