Какое значение имеет волатильность? Во-первых, волатильность, или стандартное отклонение, является важным показателем рыночного риска. Во-вторых, она часто используется для определения цены производных инструментов (например, опционов).
В данной статье мы продемонстрируем несколько шагов, необходимых для преобразования данных рыночного индекса S&P 500 в надежный прогноз волатильности с помощью надстройки NumXL в Microsoft Excel.
Для нашей цели мы используем цены S&P 500 ETF (он же SPDR) в качестве прокси для американского рынка акций с крупной капитализацией. Кроме того, мы используем ежемесячные цены (табулированные на начало месяца) в период с января 2000 года по февраль 2012 года.
Задача состоит в том, чтобы построить основанный на модели прогноз волатильности на ближайшие 12 месяцев (т. е. до конца февраля 2013 г.).
Шаг 1: Ежемесячная доходность
Временной ряд цен SPDR является нестационарным и, следовательно, не подходит для многих временных рядов или эконометрических анализов. Поэтому мы сначала перевели его в месячные доходности. Кроме того, мы выбрали логарифмическую, а не простую доходность, чтобы разложить значения временного ряда, поскольку простая доходность по определению не может быть меньше минус 1 (-100 %).
На графике ниже мы построили временные ряды 12-месячной взвешенной скользящей средней (WMA) и экспоненциальной взвешенной волатильности (EWMA), чтобы продемонстрировать изменение среднего значения и волатильности с течением времени.
Обратите внимание, что прогноз волатильности (прокси EWMA) движется плавно (в отличие от доходности), но он более чувствителен к отрицательной доходности, чем к положительной.
Шаг 2: Сводная статистика
Теперь рассчитаем описательную статистику выборки месячных доходностей: среднее значение, стандартное отклонение и т. д., чтобы лучше понять данные. Встроенные функции NumXL можно использовать, как показано на рисунке, для получения набора статистических данных, обобщающих прошлые рыночные тенденции.
Используя мастер сводной статистики, введите набор входных данных (например, диапазон ячеек возврата в столбце H) на вкладке "Временной ряд", начальную ячейку в выходном диапазоне, а затем нажмите кнопку OK.
Сгенерированная таблица результатов показана ниже. Обратите внимание, что ячейки в таблице результатов связаны с источниками входных данных; мастер сводной статистики записывает формулы каждого результата, используя метки, указанные в первой строке каждого столбца данных.
Изучение таблицы результатов показывает, что распределение логарифмических доходностей имеет отрицательный перекос (перекос влево) и жирные хвосты. Кроме того, результаты теста на белый шум указывают на отсутствие значимой серийной корреляции между доходностями. В целом, эти результаты указывают на то, что данные могут быть хорошо представлены моделью типа GARCH.
Шаг 3: Моделирование E-GARCH
В самом начале мы отметили, что прогноз волатильности (прокси EWMA) реагирует на отрицательную доходность (спад) иначе, чем на положительную. К счастью, экспоненциальный GARCH (E-GARCH) отражает это явление
NumXL поддерживает три (3) типа распределений для остатков: (1) гауссовское, (2) обобщенное распределение ошибок (GED) и (3) t-распределение Стьюдента. Данные выборки имеют относительно низкий эксцесс, поэтому модель GARCH будет отражать весь эксцесс, что позволит остаткам быть нормально распределенными (т. е. гауссовыми).
После ввода набора входных данных в Time Series и ячейки выходного диапазона можно выбрать модель, которую необходимо настроить, введя некоторые специфические для модели параметры. Обратите внимание, что пока эти значения неизвестны, следует ввести грубое и разумное предположение.
Как и в сводной статистике, ячейки выходной таблицы E-GARCH связаны с исходными данными с помощью формул.
Шаг 4: Калибровка E-GARCH
Чтобы подогнать (т.е. откалибровать) модель под наши данные: (1) выберите ячейку с надписью "EGARCH(1,1)", (2) нажмите на значок или пункт меню Calibrate, и, наконец, (3) нажмите на кнопку Solve.
Решатель MS Excel максимизирует функцию логарифмического правдоподобия (ФЛП), изменяя значения коэффициентов.
Шаг 5: Остаточная диагностика
После того как коэффициенты модели E-GARCH откалиброваны, мы можем исследовать стандартизированные остатки модели, чтобы убедиться, что они удовлетворяют базовым предположениям модели (т.е. нормально распределены).
Используя таблицу диагностики остатков, мы отмечаем, что все тесты пройдены, за исключением теста ARCH, который предполагает наличие зависимости более высокого порядка (т.е. квадратичной). Для целей данной статьи мы примем калиброванную модель.
Семейство моделей GARCH отражает распространенное и важное для волатильности явление - среднюю обратимость. Используя нашу модель E-GARCH, долгосрочная месячная волатильность оценивается в 4,66% (или 16,14% в год).
Шаг 6: Прогноз волатильности
Семейство моделей GARCH описывает изменение одноступенчатой (то есть локальной) волатильности во времени, но на практике нам нужны значения волатильности, охватывающие несколько ступеней (то есть глобальные или срочные). В данной работе мы подготовим как локальную, так и срочную волатильность на ближайшие 12 месяцев.
Для этого (1) выделите ячейку с текстом "EGARCH(1,1)" Текст, (2) нажмите на иконку или меню "Прогноз", выберите последние (3) реализованные доходности и (4) волатильности, (5) измените горизонт прогноза и (6) укажите место вывода. Наконец, выберите "ОК".
Примечания
- 1. Исходные данные должны представлять собой самые последние наблюдения. Для модели E-GARCH (1, 1) требуется как минимум одна или две наблюдаемые доходности.
- 2. Прогноз реализованной волатильности (входные данные) - это самая последняя волатильность. Поскольку волатильность не наблюдается напрямую, вам придется вычислить ее с помощью вашего любимого метода. В данном примере использовалось стандартное отклонение 12-месячного окна.
Таблица, выводимая прогнозом NumXL, имеет следующий вид:
Модель E- GARCH утверждает, что в настоящее время мы находимся на арене исторически низкой волатильности, и прогнозирует рост (средний возврат) общей волатильности до ее долгосрочного уровня (4,66% /мес. или 16,14%/год).
Более конкретно, эти результаты показывают, что для февраля 2012 года (т.е. на конец 1 марта 2012 года) мы прогнозируем более низкую волатильность, чем в январе 2012 года, поскольку ее значение меньше долгосрочного базового уровня в 4,66%. Однако ожидается, что в марте эта волатильность возрастет, поскольку она вернется к своему долгосрочному среднему уровню в 4,66%.
Комментарии
Войдите в службу, чтобы оставить комментарий.