NumXL Cookbook - 利用 GARCH 进行波动率预测

波动率的意义何在？ 首先，波动率或标准差是衡量市场风险的重要指标。 其次，它经常被用来为衍生工具（如期权）定价。

本文将演示如何利用Microsoft Excel中的NumXL插件，将标普500指数（S&P 500）数据转换为一个稳健的波动率预测模型，仅需几个简单步骤。

为此，我们使用标准普尔 500 ETF（又称 SPDR）的价格来代表美国大型股票市场。 此外，我们使用的是 2000 年 1 月至 2012 年 2 月期间的月度价格（月初制表）。

这里的目标是构建一个基于模型的未来 12 个月（即到 2013 年 2 月底）波动率预测。

步骤 1：月度回报

SPDR 价格的时间序列是非平稳的，因此不适合许多时间序列或计量经济学分析。 因此，我们首先将其转换为月度回报。 此外，我们选择了对数收益率而非简单收益率，以分散时间序列的数值，因为简单收益率的定义是不能低于负 1（-100%）。

在下图中，我们绘制了 12 个月的加权移动平均线 (WMA) 和指数加权波动率 (EWMA) 时间序列，以显示均值和波动率随时间的变化。

请注意，波动率预测（以 EWMA 为代表）的走势平稳（与收益率不同），但它对负收益率的敏感度要高于对正收益率市场的敏感度。

第 2 步：汇总统计

现在我们来计算一下月度回报样本的描述性统计：平均值、标准差等，以帮助我们更好地理解数据。 如图所示，可以利用 NumXL 的内置函数生成一组统计数据，以总结过去的市场趋势。

使用汇总统计向导，在 "时间序列 "选项卡中输入输入数据集（如 H 列中的返回单元格范围），在输出范围中输入起始单元格，然后单击 "确定"。

生成的输出表如下所示。 请注意，输出表中的单元格与输入数据源相连；汇总统计向导使用各数据列第一行中指定的标签来写入每个输出的公式。

研究结果表明，对数收益率的分布呈现负偏斜（向左倾斜）和肥尾。 此外，白噪声检验结果表明收益率之间不存在明显的序列相关性。 总之，这些结果表明，GARCH 模型可以很好地代表这些数据。

步骤 3：E-GARCH 模型

我们很早就注意到，波动率预测（代理 EWMA）对负收益（衰退）的反应与对正收益的反应不同。 幸运的是，指数 GARCH（E-GARCH）捕捉到了这一现象

NumXL 支持三（3）种残差分布：（1）高斯分布；（2）广义误差分布（GED）；（3）学生 t 分布。 样本数据的过度峰度相对较低，因此 GARCH 模型将捕捉全部过度峰度，从而使残差呈正态分布（即高斯分布）。

在 "时间序列 "中输入输入数据集和输出范围单元格后，就可以选择模型，并且必须输 入一些特定于模型的参数。 请注意，虽然这些参数值尚不可知，但应输入一个粗略的、明智的猜测。

与汇总统计一样，E-GARCH 输出表中的单元格通过公式与源输入数据相连。

步骤 4：E-GARCH 校正

用样本数据拟合（即校准）模型：(1) 选择标有 "EGARCH(1,1) "的单元格，(2) 点击校准图标或菜单项，最后，(3) 点击求解按钮。

MS Excel 求解器将通过改变系数值来最大化对数似然函数 (LLF)。

步骤 5：残留诊断

一旦校准了 E-GARCH 模型的系数，我们就可以检查模型的标准化残差，以确保它们满足模型的基本假设（即正态分布）。

利用残差诊断表，我们注意到所有检验都通过了，只有 ARCH 检验除外，该检验表明存在高阶（即二次）依存关系。 在本文中，我们将接受校准后的模型。

GARCH 模型系列捕捉到了波动率的一个常见且重要的现象：均值回复。 使用我们的 E-GARCH 模型，长期月度波动率估计为 4.66%（或每年 16.14%）。

步骤 6：波动率预测

GARCH 模型系列描述的是单步（即局部）波动率随时间的变化，但在实践中，我们需 要的是跨越多步（即全局或期限）的波动率值。 在本文中，我们将同时编制未来 12 个月的局部波动率和期限波动率。

为此，(1) 选择带有 "EGARCH(1,1)" 文本的单元格，(2) 点击 "预测 "图标或菜单，选择最新的 (3) 已实现收益和 (4) 波动率，(5) 更改预测期限，(6) 指定输出位置。 最后选择 "确定"。

说明

1. 1. 输入数据应代表最新的观测结果。 对于 E-GARCH (1, 1) 模型，至少需要一个或两个观测回报。
2. 2. 已实现波动率预测（输入数据）是最近的波动率。 由于波动率无法直接观测到，因此需要使用自己喜欢的方法来计算。 本例中使用的是 12 个月窗口标准差。

NumXL 预测输出的表格是:

E- GARCH 模型指出，我们目前正处于历史低波动率阶段，并预测总体波动率将上升（均值回归）至长期水平（4.66%/月或 16.14%/年）。

更具体地说，这些结果表明，对于 2012 年 2 月（即截至 2012 年 3 月 1 日），我们预测的波动率低于 2012 年 1 月，因为其值小于 4.66% 的长期基线。

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