本文将采用计量经济学技术，为 X 公司的销售人员进行 6 个月的预测。我们将使用过去 25 个月的月销售总额作为样本数据。
我们的目标是对相互竞争的模型进行比较，并确定选择最佳模型的准则。
步骤 1：简要统计
使用描述性统计向导（如下图所示），检查样本数据的不同汇总统计量。
在汇总统计表（如下图所示）中，数据序列显示出序列相关性（即未通过白噪声检验）和肥尾（显著的过度峰度和 ARCH 效应）。
步骤 2：相关图分析
使用 NumXL 工具栏，启动相关图向导。
选中日志数据，为 ACF 和 PACF 选择 9 个滞后期。 然后，为数据创建相关图
从 ACF 和 PACF 图中可以看出，数据似乎来自一个 ARMA 过程，其 AR 阶数为 1(1)，MA 阶数为 2(2)。 数据样本相对较小，因此要注意不要用高阶模型过度拟合数据。
步骤 3：ARMA 模型
根据 ACF/PACF 图，我们可以为数据提出一个 ARMA 模型。 此外，AR 或 MA 的阶数小于或等于二 (2)。
$$\left(1-\sum_{i=1}^p{\phi_i L^i}\right)\left(x_t-\mu\right)=\left(1+\sum_{j=1}^q{\theta_j L^j}\right)a_t$$
地点:
- $L$ = 滞后或后移算子
- $\phi_i$ = 第 i 个 AR 分量的系数。
- $p$ = 自回归（AR）成分的阶数。
- $x_t$ = 月的销售总额 $t$
- $\mu$ = ARMA 过程的长期均值
- $\theta_j$ = MA 分量的第 j 个系数
- $q$ = 移动平均（MA）成分的阶次
- $a_t$ = 月份的残差、冲击、创新或误差项 $t$.
在本节中，我们将使用 "蛮力 "方法，检查所有可能的 ARMA 模型排列。 总之，我们将指定、校准、验证每个模型，最后将其与其他模型进行比较，以确定最佳（最简单）拟合模型。
步骤 3.1： 模型规格
步骤 3.2：模型校准
选择航空公司模型表顶部的单元格（即 "ARMA(1,2)"），然后点击工具栏上的校准图标。
步骤 3.3：检查和验证校准模型
对于上述 ARMA(2.1) 模型，模型参数的新最优值如下所示：
步骤 3.4： 比较模型并选择最佳模型
在所附电子表格中，我们对所有阶数为 (1,0) 至 (2,2) 的 ARMA 模型重复了前面的步骤 (3.1-3.3)。 下表总结了我们的发现：
阿卡伊克信息准则（AIC）的计算考虑到了模型的复杂性，随着自由参数数量的增加，其拟合度也会受到影响。 在比较不同模型时，我们将使用 AIC 指标。
虽然所有模型的 AIC 都比较接近，但我们倾向于最简单的方法，选择 ARMA(1,0) 或 AR(1)。
步骤 4：预测
所选校准模型的残差符合 ARMA 模型的假设。 现在，我们准备对每月的销售总额进行 6 个月的预测。
选择标有 "ARMA(1,0) "的单元格，点击工具栏上的预测图标。
请注意，在进行预测时，输入的时间序列指的是最新的销售总额数据（即上个月的数据）。输出表格如下所示：
请注意：预测值随时间推移逐渐向模型长期均值50.65（$\phi_o$）靠拢，而预测误差正趋近于1.8；该值为模型的边际（即无条件）长期标准差。
最后，绘制未来 9-12 个月的预测平均值和置信区间图，如下所示：
结论
现在，我们选择 ARMA(1,0) 或 AR(1) 模型作为样本数据的最佳拟合模型，并研究其表示方法的实际意义。 该模型表明，连续月份之间的销售数字存在明显的相关性。
此外，大约百分之四十五（45%）的销售案件（X 公司胜诉）是在两个月的周期内完成的：
$$ r = \frac{\phi_1}{1+\phi_1}=\frac{0.82}{1.82}=45\% $$
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