教科书范例 - 航空公司乘客数据

本文将分析教科书《时间序列》（Time Series： Box、Jenkins 和 Reinsel 所著的《时间序列：预测与控制》（ISBN：978-0470272848）中提到。 这本教科书首次出版于 20 世纪 60 年代末，被许多从业人员视为时间序列主题的权威基础教科书。

国际航线乘客数列介绍了 1949 年 1 月至 1960 年 12 月期间的每月国际乘客总数。

这里的目的是沿用书中的分析方法，并展示 NumXL 计算的准确性。 此外，领先的统计软件供应商 SAS 也展示了他们对同一数据集的分析，因此我们强烈建议用户也通过此链接查看他们的结果：

SAS 程序参考 - 例 7.2 航空公司系列的季节性模型

步骤 1：数据转换

使用描述性统计向导（如下图所示），检查样本数据的不同汇总统计量。

在汇总统计表（如下图所示）中，数据序列显示出序列相关性（即未通过白噪声检验）和肥尾（显著的过度峰度和 ARCH 效应）。

原始分析使用自然对数函数（即 LN）转换数据序列。 如下图所示，采用相同的技术：

该技术应能得出以下汇总统计数据：

请注意，转换后的数据序列比原始数据更加平滑，时间趋势也比原始数据更加线性。

步骤 2：相关图分析

使用 NumXL 工具栏，启动相关图向导。

选中日志数据，为 ACF 和 PACF 选择 24 个滞后期。 然后，为数据创建相关图。

通过分析ACF图，数据似乎在滞后1（1）和滞后12（12）处存在自相关。将两个滞后项的数据进行差分（即$ \left(1-L\right)\left(1-L^{12}\right) $），如下方图形所示：

差分数据集应生成以下相关图：

另外，请注意差分数据序列的 ACF 图显示，在滞后一（1）和滞后十二（12）处存在显著的自相关性。

步骤 3：航空公司建模

针对对数乘客数据系列提出的模型是一个季节长度为 12 个月的航空公司模型。

$$\left(1-L\right)\left(1-l^{12}\right)\ln{X_t}=\mu \left(1+\theta L\right)\left(1+\Theta L^{12}\right)a_t$$

地点

• L = 后移运算符（又名 B）。
• $a_t$ = 即误差项、冲击、创新，或简称为 t 时的模型残差。
• $\mu$ = 季节差分时间序列的平均值。

使用 NumXL 工具栏，单击 "航线 "图标启动航线模型向导。

步骤 4：校准

选择航空公司模型表顶部的单元格（即 "AIRLINE(12)"），点击工具栏上的校准图标。

Excel 解决器将尝试确定航空公司模型参数（即 $\theta,\Theta$）的最优值。

模型参数的新最佳值如下所示：

残差分析表显示，校准值满足基本模型的所有假设（即高斯分布残差）。

SAS 网站上校准模型的参数值与我们之前计算的参数值略有不同：

不过，我们的数值在误差容许范围内（即 ），而且我们的阿凯克信息准则（AIC）更好。

我们认为，NumXL 和 SAS 数值之间的核心差异可以通过注意到我们没有将截距（$\mu$ ）值设为零来解释。

步骤 5：预测

校准模型的残差符合航空模型的假设。 现在，我们准备对每月的国际航线乘客总数进行 24 个月的预测。

预测将分为两个阶段：

• 预测每月总数的对数
• 将预测结果转换为正常的月度总数

选择标有 "AIRLINE(12) "的单元格，点击工具栏上的预测图标。

请注意，为了进行预测，此处输入的时间序列指的是最近的13个月，即1959年11月至1960年12月的观测值。输出表格如下所示：

要换算回正常的月度总数，请使用以下公式：

$$UL=e^{UL_{log}}$$

$$LL=e^{LL_{log}}$$

$$\mu=e^{\mu_{log}+\frac{\sigma_{log}^2}{2}}$$