插值 101

Zaid Marridi

2022年10月01日 22:51

多年前，NumXL 支持插值功能，作为满足用户建模需求的实用工具或辅助方法。出乎我们意料的是，该功能受到了广泛关注，因此我们决定在此汇编一些有关该功能的常见问题。

什么是插值？

插值法是一种数值方法，用于根据离散的已知数据点的范围估算新数据点的值。

举例说明，假设函数 $y=f(x)$ 的值是一组五（5）个不同的 x 值，如下图所示。
该图显示了由五个不同 x 值组成的输入数据集。

现在，我们希望估计（即插值）函数在$x=5$处的值，使用给定的五个（5）数据点。

为了进行插值，所需的目标 x 值必须在原始数据集的范围内（例如，$2\le x\le 12$）。

在进一步讨论之前，让我们先回答几个我们经常听到的基本问题：

那么外推法呢？有什么不同？
外推法是对超出给定数据集范围的 x 值的函数值进行估计的过程。
NumXL 支持外推法吗？
是的，功能相同 NxINTRPL(.) 可用于外推法。请确保在 "外推法 "参数中输入 "true "或 1。
曲线拟合（如回归）和插值是否相同？
曲线拟合和插值法经常被互换使用，但两者之间有细微的差别：插值法必须完全拟合数据点，而曲线拟合必须尽可能接近数据点。
我应该使用插值法还是曲线拟合法？
这要看情况。插值法假定数据点是完全已知的（或至少是非常精确的），而曲线拟合法假定数据点存在一定程度的噪声。

数据准备

如前所述，所有插值方法都接受一组离散的已知数据点。为了处理真实世界的数据集，NumXL 插值函数 (NxINTRPL) 对数据进行预处理，以便

将数据点按升序排序（基于 X）。
无声删除缺失值的数据点
用平均值替换相同 X 值的多个读数。

常见问题：

Q: 数据点是否应该均匀分开？

A: 不，数据点之间的间隔长度不需要一致，但我们建议数据点分散在 x 范围内，以提高插值精度，并将异常值的影响降至最低。

插值法

阶跃插值 1：正向平插值：

阶跃插值法利用最后一个已知值，在已知数据点之间建立未知函数的平直/恒定模型。
阶跃插值 2：后向平插值：

在后向平坦法中，未知函数也被建模为已知数据点之间的平坦/常数，但它使用的是紧接着的下一个数据点的水平。
步骤插值 3：最近邻插值：

使用近邻法时，未知函数的建模仍然是平坦/恒定的，但其电平由最近数据点的电平决定。
线性插值

通过线性插值，我们用直线将每个数据点与其邻近点连接起来。

请注意，两个数据点之间的函数值完全由这两个数据点决定。
立方样条：自然样条：

利用三次样条曲线法，我们在每个区间上构建了一个片断三次多项式，其在所提供数据点上的一阶导数和二阶导数相匹配。二阶导数在第一个点和最后一个点均为零。

结果曲线是平滑的，但它不是 "局部的"，这意味着如果函数发生较大变化（如 x=4），周围各点的曲线就会 "摇摆不定"（即在中间点出现过冲）。
立方样条：AKIMA样条：

为了避免自然三次样条曲线的摇摆不定，我们放宽了数据点（结点）周围二次导数的连续性，从而产生了非圆角。

如上图所示，数据点周围的曲线是连续的，但并不平滑。
立方样条曲线 Steffen Spline：

Steffen 的样条曲线增加了一个新的约束条件：数据点之间的立方样条曲线段是单调的。在此期间，不会出现晃动。

由此得出的曲线在数据点周围是平滑的，在数据点之间没有任何晃动。因此，最小值和最大值只能恰好出现在数据点上。

Steffen 的样条曲线及其一阶导数保证是连续的，但二阶导数可能是不连续的。
立方样条曲线约束（克鲁格）样条曲线

克鲁格提出了一种约束立方样条曲线，通过牺牲平滑度来防止超调，因此我们不再要求在每个点上都有连续的二阶导数，而是利用周围的点来数值计算一阶导数值。

使用约束（克鲁格）样条曲线，我们避免了三次样条曲线的过冲摇摆效应，也无需添加单调性约束。