GESMTH – Suavizado exponencial general

1. La serie de tiempo es homogenea o igualmente espaciada.
2. La serie de tiempo puede incluir los valores faltantes (e.g. #N/A) sólo en cada extremo.
3. The GESMTH es una generalización del modelo de suavizado tripe exponencial. La forma recursiva de la ecuación de suavizado exponencia triple de Holt-Winters se expresa así:
   
   $$ \begin{array}{l} \hat{F}_t(m)=f(S_t,b_t,C_{t-L+m})+\lambda e_{t-1}\\ \\ S_t=\alpha\times F_1(X_t,C_{t-L})+(1-\alpha)F_2(S_{t-1},b_{t-1})\\ b_t=\beta\times G_1(S_t,S_{t-1})+(1-\beta)G_2(b_{t-1})\\ C_t=\gamma\times H_1(X_t,S_t)+(1-\gamma)C_{t-L}\\ \\ e_t=X_t-f(S_t,b_t,C_{t-L+m}) \end{array} $$
4. La forma functional de $F_2(.),G_1(.), \mathrm{and}\, G_2(.)$ se definen por el tipo de tendencia en el modelo:
   

   Ninguno	$\begin{array}{l} F_2(S_{t-1},b_{t-1})=S_{t-1}\\ G_1(S_t,S_{t-1})=0\\ G_2(b_{t-1})=0 \end{array} $
   Aditivo de tendencia	$ \begin{array}{l} F_2(S_{t-1},b_{t-1})=S_{t-1}+b_{t-1}\\ G_1(S_t,S_{t-1})=S_t - S_{t-1}\\ G_2(b_{t-1})=b_{t-1} \end{array} $
   Aditive atenuado de tendencia	$ \begin{array}{l} F_2(S_{t-1},b_{t-1})=S_{t-1}+\phi b_{t-1}\\ G_1(S_t,S_{t-1})=S_t - S_{t-1}\\ G_2(b_{t-1})=\phi b_{t-1} \end{array} $
   Multiplicativo de tendencia	$ \begin{array}{l} F_2(S_{t-1},b_{t-1})=S_{t-1}\times b_{t-1}\\ G_1(S_t,S_{t-1})=S_t / S_{t-1}\\ G_2(b_{t-1})= b_{t-1} \end{array} $
   Multiplicativo de tendencia atenuada	$ \begin{array}{l} F_2(S_{t-1},b_{t-1})=S_{t-1}\times b_{t-1}^\phi\\ G_1(S_t,S_{t-1})=S_t / S_{t-1}\\ G_2(b_{t-1})= b_{t-1}^\phi \end{array} $

5. La forma functional de $F_1(.)$ and $H(.)$ se define por el tipo de estacionalidad:
   

   Ninguno	$\begin{array}{l} F_1(X_t, C_{t-L})=X_t\\ H(X_t, S_t)=0 \end{array} $
   Aditivo de estación	$\begin{array}{l} F_1(X_t, C_{t-L})=X_t - C_{t-L}\\ H(X_t, S_t)=X_t - S_t \end{array} $
   Multiplicativo de estación	$\begin{array}{l} F_1(X_t, C_{t-L})=X_t / C_{t-L}\\ H(X_t, S_t)=X_t / S_t \end{array} $

6. La forma funcional del paso m (fuera de la muestra) del pronóstico ($f(S_t,b_t,C_{t-L+m})$) se determina por el tipo de tendencia y el tipo de estacionalidad:

   	Ninguno	Aditivo	Multiplicativo
   Ninguno	$S_t$	$S_t + C_{t-L+m}$	$S_t \times C_{t-L+m}$
   Aditivo de tendencia	$S_t+ m\times b_t$	$S_t + m\times b_t+C_{t-L+m}$	$(S_t +m\times b_t) \times C_{t-L+m}$
   Aditive atenuado de tendencia	$S_t+ (\phi+\cdots+\phi^m)b_t$	$S_t + (\phi+\cdots+\phi^m)b_t + C_{t-L+m}$	$(S_t + (\phi+\cdots+\phi^m) b_t) \times C_{t-L+m}$
   Multiplicativo de tendencia	$S_t \times b_t^m$	$S_t \times b_t^m + C_{t-L+m}$	$S_t \times b_t^m \times C_{t-L+m}$
   Multiplicativo de tendencia atenuada	$S_t \times b_t^{\phi+\cdots+\phi^m}$	$S_t \times b_t^{\phi+\cdots+\phi^m} + C_{t-L+m}$	$S_t \times b_t^{\phi+\cdots+\phi^m} \times C_{t-L+m}$

7. El último término de la función pronóstico ($\hat{F}_t(m)$) es el pronóstico de error de término de ajuste de autocorrelación de primer orden ($\lambda e_{t-1}$), pero esto permanence igual para todas las tendencias y tipos de estacionalidad.
8. En suma, la función GESMTH captura los 15 modelos distintos para el suavizado exponencial de una sola estacionalidad, y la simple exponencial Bown, la doble exponencial de Holt y la triple exponencial de Holt-Winters son solamente 3 casos especiales en GESMTH.
9. La tendencia multiplicativa (amortiguada) sólo puede usarse con series de tiempo de valores positivos de ingreso.
10. Los tres componentes de la ecuación en GESMTH son independientes en el sentido en que tres componentes deben ser actualizados durante cada período.
11. La estacionalidad multiplicativa sólo puede usarse con series de tiempo de valores positivos de ingreso.
12. Igual que con el suavizado de Holt-Winters, el coeficiente de suavizado $\alpha$ se usa de nuevo para controlar la velocidad de adaptación al nivel local, una segunda constante de suavizado $\beta$ se usa para controlar el grado de la tendencia local, una tercera constante de suavizado $\gamma$ es introducida para controlar el grado de índices estacionales locales y, finalmente, una cuarta constante $\phi$ para amortiguar la tendencia llevada a períodos de pronóstico de múltiples pasos adelante.
13. El GESMTH calcula un pronóstico de puntos. No hay modelo probabilístico que se asuma para el suavizado exponencial simple, así que no podemos derivar un interval estadístico confiable para los valores calculados.
14. En la práctica, el error cuadrático medio (MSE, por sus siglas en inglés) para valores previos fuera de la muestra es usado con frecuencia como un indicador de incertidumbre (i.e. varianza) en el más reciente valor de pronóstico.
15. Igual que con otros modelos recursivos de suavizado exponencial, el método GESMTH requiere un grupo de valores iniciales. La naturaleza del valor y cómo lo calculamos depende de la tendencia especificada y de los tipos de estacionalidad
    • Para series de tiempo no estacionales (Tipo de estacionalidad = Ninguno), necesitamos el valor inicial para el nivel ($S_1$) y la tendencia ($b_1$), si la tendencia es escogida. El cálculo del valor inicial depende del tipo de tendencia (ninguna, vs. aditiva vs. multiplicativa).
    • Para las series de tiempo estacionales (aditiva y multiplicativa), necesitamos valores iniciales para los índices estacionales ($C_{1\cdots L}$), nivel inicial ($S_1$), y tendencia inicial ($b_1$), si la tendencia es escogida.
    • El cálculo actual de los valores iniciales puede resumirse en 3 pasos
      1. Ajustar estacionalmente los datos con las series de tendencia estimada.
      2. Restar la tendencia de los datos para estimar los índices estacionales.
      3. Promediar multiples temporadas para mejorar el estimado.
16. Empezando desde la version 1.65 de NumXL, la función GESMTH tiene un optimizador incorporado para encontrar el mejor valor de ($\alpha,\beta,\phi,\gamma$, y $\lambda$) que minimiza la SSE (función de pérdida ($U(.)$)) por el pronóstico en un paso calculado dentro de la muestra.
    
    $$ \begin{array}{l} U(\alpha,\beta,\phi,\gamma,\lambda)=\mathrm{SSE}=\sum_{t=1}^{N-1}(X_{t+1}-\hat{F}_t(1))^2\\ \\ \min_{\alpha,\beta,\phi,\gamma \in (0,1)} U(\alpha,\beta,\phi,\gamma,\lambda) \end{array} $$
17. Para los valores iniciales, el optimizador de NumXL utilizará el valor de ingreso de ($\alpha,\beta,\phi,\gamma$, y $\lambda$) (si está disponible) ) en el problema de minimización, y los valores iniciales para el nivel, la tendencia y las series de índices estacionales ($S_1,b_1,C_{1\cdots L}$) serán calculados con los datos de ingreso.
18. La función GESMTH devuelve el valor óptimo encontrado para $\alpha,\beta,\phi,\gamma$, y $\lambda$, y a las correspondientes series de suavizado de un paso de nivel, tendencia, índices estacionales, términos de ajuste y series de pronóstico dentro de la muestra.
19. Para un modelo estacional, el ingreso de las series de tiempo debe tener al menos dos temporadas completas de observaciones para usar el optimizador incorporado.
20. NumXL implementa el método de pendiente proyectada espectral (SPG, por sus siglas en inglés) para encontrar el mínimo con una frontera dentro del cuadro
    • El SPG requiere un valor de función de pérdida y la pendiente ($\nabla$). NumXL implementa la exacta formula derivativa (vs. aproximación numérica) para propósitos de desempeño.
      
      $$ \begin{array}{l} \nabla U = \frac{\partial U}{\partial \alpha} \vec{e_\alpha} + \frac{\partial U}{\partial \beta} \vec{e_\beta} + \frac{\partial U}{\partial \phi} \vec{e_\phi} \frac{\partial U}{\partial \gamma} \vec{e_\gamma} \frac{\partial U}{\partial \lambda} \vec{e_\lambda}\\ \\ \frac{\partial U}{\partial \alpha} = -2\times\sum_{t=1}^{N-1}(X_{t+1}-\hat{F}_t(1))\times \frac{\partial \hat{F}_t}{\partial \alpha}\\ \frac{\partial U}{\partial \beta} = -2\times\sum_{t=1}^{N-1}(X_{t+1}-\hat{F}_t(1))\times \frac{\partial \hat{F}_t}{\partial \beta}\\ \frac{\partial U}{\partial \phi} = -2\times\sum_{t=1}^{N-1}(X_{t+1}-\hat{F}_t(1))\times \frac{\partial \hat{F}_t}{\partial \phi}\\ \frac{\partial U}{\partial \gamma} = -2\times\sum_{t=1}^{N-1}(X_{t+1}-\hat{F}_t(1))\times \frac{\partial \hat{F}_t}{\partial \gamma}\\ \frac{\partial U}{\partial \lambda} = -2\times\sum_{t=1}^{N-1}(X_{t+1}-\hat{F}_t(1))\times e_{t-1} \end{array} $$
    • Internamente, durante la optimización, NumXL calcula de manera recursiva tanto el suavizado de series de tiempo, niveles, tendencias, índices estacionales como todos los derivados dentro de la muestra, que son usados para la función de pérdida y su derivado.
    • El SPG es un método reiterativo (recursivo), y es posible que el mínimo no se pueda encontrar dentro del número de reiteraciones permitidas y/o toleradas. En este caso, NumXL no fallará, al contrario, utilizará el mejor valor de alfa encontrado hasta el momento.
    • El SPG no tiene provisión para detectar o evadir la trampa minima local. No existe garantía del mínimo global.
21. En general, la función SSE en TESMTH cede el paso a una curva de suavizado continua no monótona, ese minimizador SPG casi siempre encuentra una solución óptima en muy pocas reiteraciones.
22. GESMTH está disponible empezando con NumXL 1.65.

Ejemplos de archivos

Enlaces Relacionados

• Wikipedia - Exponential Smoothing

Referencias

• James Douglas Hamilton; Time Series Analysis; Princeton University Press; 1st edition(Jan 11, 1994), ISBN: 691042896
• Tsay, Ruey S.; Analysis of Financial Time Series; John Wiley & SONS; 2nd edition(Aug 30, 2005), ISBN: 0-471-690740
• D. S.G. Pollock; Handbook of Time Series Analysis, Signal Processing, and Dynamics; Academic Press; Har/Cdr edition(Nov 17, 1999), ISBN: 125609906