Transformada Discreta de Fourier (DFT, por sus siglas en inglés) - Representación Trigonométrica

Este es el segundo tutorial en nuestras series de análisis espectral en desarrollo. En esta entrada, continuaremos nuestra discusión acerca de la Transformada Discreta de Fourier en Excel, su interpretación y aplicación en el dominio de tiempo.

El DFT (por sus siglas en inglés) es básicamente una transformación matemática y puede ser un concepto un poco árido pero, a pesar de ello, esperamos que este tutorial los ayude a entenderlo en un nivel más profundo e intuitivo, a través del uso de las funciones y asistentes de NumXL.

Antecedentes

Nos han hecho varias preguntas desde que lanzamos nuestra primera entrada acerca de DFT, especialmente relacionadas con cómo usar los componentes DFT para representar la entrada del conjunto de datos como la sumatoria de las funciones trigonométricas de seno-coseno. Las preguntas surgieron gracias al uso de esta representación para interpolar valores intermedios y, posiblemente, extrapolar (el también conocido ¨pronóstico¨) más allá del conjunto de datos registrados.

En principio, el DFT convierte un discreto conjunto de observaciones en una serie de funciones trigonométricas continuas (i.e. seno y coseno). Así que la señal original puede ser representarse de esta manera:

$$x(t)=\frac{1}{N}\left ( A_o+\sum_{i=1}^N A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i)\right )$$

Donde

  • $x(t)$ es el valor de la observación en el tiempo $t$.
  • $t$ es el tiempo discreto en el cual se obtuvo una observación.
  • $t \in \left \{ 0,1,2 \cdots N-1 \right \}$.
  • $N$ es el número de observaciones en el conjunto de datos de entrada.
  • $\omega = \frac{2\pi}{N}$ es la frecuencia principal o fundamental.
  • $A_i\angle \phi_i$ es la amplitud y la fase del i-ésimo componente discreto de Fourier..

 

Análisis

Examinando de cerca los componentes de transformación de Fourier (i.e. amplitud y fase) de una serie finita, encontramos las siguientes observaciones:

Plan para Transformada Discreta de Fourier (DFT, por sus siglas en inglés)
OR
$A_k\angle \phi_k = A_{N-k}\angle -\phi_{N-k}$
$A_k\angle \phi_k = A_{N+k}\angle \phi_{N+k}$

 

  1. La amplitud de las series es simétrica en torno al componente $N/2$.
  2. La fase del componente $k$ es el negativo del componente $N-k$

En esencia, sólo necesitamos la primera mitad de los componentes DFT para recuperar el conjunto de datos de entrada original. El tiempo original está representado por los siguientes componentes:

$$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o+2\times\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i)\right)$$

Prueba

$$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o+\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i) +\sum_{i=N/2+1}^N A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i) \right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o+\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i) +\sum_{i=N/2+1}^N A_{N-i}\times cos(\omega\times i \times t - \phi_{N-i}) \right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o+\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i) +\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times (N-i) \times t - \phi_i) \right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o+\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i) + A_i\times cos(\omega\times (N-i) \times t - \phi_i) \right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o+\sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i) + A_i\times cos(2\pi\times t -(\omega\times i \times t + \phi_i)) \right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o + 2\times \sum_{i=1}^{N/2} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i)\right)$$

 

IMPORTANTE: Para un conjunto de datos de salida uniforme, el último componente DFT no necesita multiplicarse por 2. Así pues, la representación del coseno de los datos de salida se expresa de la siguiente manera:

$$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o + 2\times \sum_{i=1}^{N/2-1} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i)+ A_{N/2}\times cos(\omega\times \frac{N}{2} \times t + \phi_{N/2})\right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o + 2\times \sum_{i=1}^{N/2-1} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i)+ A_{N/2}\times cos(\pi \times t + \phi_{N/2})\right)$$ $$x(t)=\frac{1}{N}\left( A_o + 2\times \sum_{i=1}^{N/2-1} A_i\times cos(\omega\times i \times t + \phi_i)+ A_{N/2}\times cos(\phi_{N/2})cos(\pi \times t)\right)$$

 

Conclusión

Usando la Transformada Discreta de Fourier podemos representar el conjunto de datos de entrada discreto como la sumatoria de funciones trigonométricas deterministas continuas.

Distinto a los datos originales, que se definen en instancias discretas de tiempo, la representación Fourier es continua y, por lo tanto, definida con valores clásicos. Usando esta representación continua, podemos interpolar cualquier valor en este rango (excepto para extrapolación/pronóstico).

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