SESMTH - Suavizado Exponencial Simple de Brown

1. La serie de tiempo es homogenea o igualmente espaciada.
2. La serie de tiempo puede incluir los valores faltantes (e.g. #N/A) sólo en cada extremo.
3. El suavizado exponencial simple se aplica mejor a las series de tiempo que no exhiben una tendencia prevalente y no se exhiben por temporadas.
4. La forma recursiva de la ecuación de suavizado exponencial simple se expresa así:
   
   $$ S_{t \succ 1}= \alpha\times X_t + (1-\alpha)\times S_{t-1} $$
   $$ \hat{F}_t(m)=S_t $$
   Donde:
   
   • $X_t$ es el valor de las series de tiempo en el tiempo t.
   • $S_t$ es el nivel.
   • $\alpha$ es el coeficiente de suavizado por nivel.
   • $\hat{F}_t(m)$ es el valor del pronóstico suavizado adelantado m para $X$ del tiempo t.
5. Para $\alpha = 1$, el suavizado exponencial simple es equivalente al método de extrapolación primitiva inalterable (NCE), o simplemente una caminata estándar.
6. Para $\alpha = 0$, el pronóstico será una constante tomando sus valores del valor de inicio por nivel.
7. En general, el coeficiente de suavizado se usa para controlar la velocidad de adaptación a nivel local.
8. El SESMTH calcula un pronóstico por puntos. No hay un modelo probalístico que se asuma para el suavizado exponencial simple, así que no podemos derivar un intervalo estadístico seguro para los valores calculados.
9. En la práctica, el error cuadrático medio (MSE) para valores de pronóstico previos fuera de la muestra se usa con frecuecia como un indicador de incertidumbre (i.e. varianza) en los valores de pronóstico más recientes.
10. Este método requiere un valor de inicio para el nivel (i.e. $S_t$) para empezar con la actualización recursiva de la ecuación. En NumXL, el valor de inicio está programado a la media de las primeras cuatro observaciones, y para las series de tiempo cortas está programado como el valor de la primera observación.
    
    $$ S_1=\left\{\begin{array}{l} X_1\\ \frac{\sum_{t=1}^4 X_t}{4} \end{array}\right. \begin{array}{r} N \leq 4\\ N \gt 4 \end{array} $$
11. 11. Empezando desde la versión 1.63 de NumXL, el SESMTH tiene un optimizador incorporado para encontrar el mejor valor de $\alpha$ que minimice el SSE (función de pérdida ($U(.)$)) para el pronóstico en un paso calculado en la muestra.
    
    $$ \begin{array}{l} U(\alpha)=\mathrm{SSE}=\sum_{t=1}^{N-1}(X_{t+1}-\hat{F}_t(1))^2\\ \min_{\alpha \in (0,1)} U(\alpha) \end{array} $$
12. Para valores iniciales, el optimizador NumXL usará el valor de entrada de alfa (si está disponible) en el problema de minimización, y el nivel inicial (i.e. $S_1$) se calcula desde los datos de entrada.
13. Empezando desde la versión 1.65 de NumXL, la función SESMTH devuelve el valor óptimo encontrado para alfa, y el correspondiente pronóstico de suavizado en un paso calculado en series de la muestra.
14. Las series de tiempo deben tener al menos tres (3) observaciones con valores no faltantes para usar el optimizador incorporado.
15. NumXL implementa el método de pendiente espectral proyectada (SPG) para encontrar el mínimo con un límite encajonado.
    • El SPG requiere un valor de función de pérdida y el primer derivado. NumXL implementa la fórmula derivada exacta (vs. la aproximación numérica) para propósitos de comportamiento.
      
      $$ \begin{array}{l} \frac{\partial U}{\partial \alpha}=-2\times\sum_{t=1}^{N-1}(X_{t+1}-\hat{F}_t(1))\times \frac{\partial \hat{F}_t}{\partial \alpha} \\ \\ \frac{\partial \hat{F}_t}{\partial \alpha}=\frac{\partial S_t}{\partial \alpha} \\ \\ \frac{\partial S_t}{\partial \alpha}=X_{t+1}+(1-\alpha)\times \frac{\partial S_{t-1}}{\partial \alpha}-S_{t-1} \end{array} $$
    • Internamente, durante la optimización, NumXL calcula recursivamente ambos, tanto los niveles dentro de la muestra como los niveles derivados de la muestra, que son usados para la función de pérdida y sus derivados.
    • El SPG es un método iterativo (recursivo), y es posible que el mínimo no se pueda encontrar dentro del número de iteraciones permitidas y/o de tolerancia. En este caso, NumXL no fallará, en vez, usará el mejor alfa encontrado hasta el momento.
    • El SPG no tiene provisión para detectar o evadir las trampas mínimas locales. No hay garantía del mínimo global.
16. En general, la función SSE produce un suavizado continuo curvo monótono convexo, ese minimizador SPG casi siempre encuentra una solución óptima en muy pocas iteraciones.

Ejemplo 1:

Ejemplos de archivos

Enlaces Relacionados

• Wikipedia - Suavizamiento exponencial

Referencias

• Hamilton, J .D.; Time Series Analysis , Princeton University Press (1994), ISBN 0-691-04289-6
• Tsay, Ruey S.; Analysis of Financial Time Series John Wiley & SONS. (2005), ISBN 0-471-690740