LESMTH - Suavizado exponencial lineal de Brown

1. La serie de tiempo es homogenea o igualmente espaciada.
2. La serie de tiempo puede incluir los valores faltantes (e.g. #N/A) sólo en cada extremo.
3. El suavizado exponencial lineal se aplica mejor a las series de tiempo que exhiben una tendencia prevalente pero no muestran estaciones.
4. La forma recursiva de la ecuación de suavizado exponencial de Brown se expresa así:
   
   $$ \begin{array}{l} S_{t\succ 1}^{'} = \alpha\times X_t+(1-\alpha)\times S_{t-1}^{'} \\ S_{t\succ 1}^{''} = \alpha\times S_t^{'}+(1-\alpha)\times S_{t-1}^{''} \\ S_t = 2\times S_{t}^{'} - S_{t}^{''} \\ b_t = \frac{\alpha}{1-\alpha} (S_{t}^{'} - S_{t}^{''})\\ \\ \hat{F}_t(m)=S_t + m\times b_t \end{array} $$
   Donde:
   
   • $X_t$ es el valor de las series de tiempo en el tiempo t.
   • $S_{t}^{'}$ es el valor de suavizado exponencial simple de X.
   • $S_{t}^{''}$ es el doble valor del suavizado exponencial.
   • $S_{t}$ es el estimado del nivel.
   • $b_{t}$ es el estimado de la pendiente.
   • $\alpha$ es el coeficiente de suavizado por nivel.
   • $\hat{F}_t(m)$ es el valor pronóstico de suavizado en el paso adelantado m para X en el tiempo t.
5. 5. Para LESMTH estamos aplicando el suavizado exponencial dos veces y calculando el nivel y la pendiente para esas dos series:
   • Usar $X_t$ como entrada y $\alpha$ como coeficiente de suavizado, genera $S_{t}^{'}$.
   • Usar $S_{t}^{'}$ como entrada y $\alpha$ como coeficiente de suavizado, genera $S_{t}^{''}$.
6. Para $\alpha = 1$, el suavizado exponencial doble es equivalente al método de extrapolación inmodificable primitiva (NCE), o simplemente una caminata aleatoria. En este caso, la división por cero ocurre cuando calculamos la pendiente, y el pronóstico es indefinido.
7. Para $\alpha = 0$, el pronóstico será una constante tomando sus valores desde el valor inicial para $S_{t}^{'}$ y $S_{t}^{''}$:
   $$ \hat{F}_t(m) = 2\times S_{1}^{'} - S_{1}^{''} $$
8. LESMTH calcula el pronóstico por puntos. No hay un modelo probalístico asumido para el suavizado exponencial simple, entonces no podemos derivar un intervalo estadístico confiable para los valores calculados.
9. En la práctica, el error cuadrático medio (MSE, por sus siglas en inglés) para valores anteriores de pronóstico fuera de la muestra se usa, con mayor frecuencia, como indicador de incertidumbre (i.e. varianza) en el valor de pronóstico más reciente.
10. Este método requiere dos valores de inicio ($S_{1}^{'},S_{1}^{''}$) para arrancar con la actualización recursiva de la ecuación. En NumXL, hemos agrupado estos valores tal como se muestra a continuación:
    
    • $S_{1}^{'}$ está establecido con la media de las primeras cuatro oservaciones, y para una serie de tiempo corta se ha establecido como el valor de la primera observación.
      
      $$ S_{1}^{'}=\left\{\begin{array}{l} X_1\\ \frac{\sum_{t=1}^4 X_t}{4} \end{array}\right. \begin{array}{r} N \leq 4\\ N \gt 4 \end{array} $$
    • $S_{1}^{''}$ está establecido como la media de las primeras cuatro observaciones de $S_{t}^{'}$, y para una serie de tiempo corta se ha establecido como el valor de la primera observación.
      
      $$ S_{1}^{''}=\left\{\begin{array}{l} S_{1}^{'}\\ \frac{\sum_{t=1}^4 S_{t}^{'}}{4} \end{array}\right. \begin{array}{r} N \leq 4\\ N \gt 4 \end{array} $$
11. Empezando desde la version 1.63 de NumXL, SESMTH tiene un optimizador incorporado para encontrar el mejor valor de $\alpha$ que minimice el SSE (función de pérdida ($U(.)$) para el pronóstico de un paso calculado dentro de la muestra.
    
    $$ \begin{array}{l} U(\alpha)=\mathrm{SSE}=\sum_{t=1}^{N-1}(X_{t+1}-\hat{F}_t(1))^2\\ \min_{\alpha \in (0,1)} U(\alpha) \end{array} $$
12. Para los valores iniciales, el optimizador de NumXL utilizará el valor de registro de alfa (si está disponible) en el problema de minimización, y los valores iniciales para las dos series de suavizado ($S_{1}^{'},S_{1}^{''}$) se calculan a partir de los datos de registro.
13. Empezando con la version 1.65 de NumXL, la función SESMTH devuelve el valor óptimo encontrado a alfa, y a las series de suavizado de un paso correspondientes de nivel, de tendencia y al pronóstico calculado dentro de la muestra.
14. Las series de tiempo deben tener al menos tres (3) observaciones con valores no faltantes para usar el optimizador integrado.
15. NumXL implementa el método de pendiente espectral proyectada (SPG) para encontrar el mínimo con una frontera dentro del cuadro.
    • El SPG requiere un valor de la función de pérdida y el primer derivativo. NumXL implementa la fórmula exacta derivativa (vs. la aproximación numérica) para propósitos de funcionamiento.
      
      $$ \begin{array}{l} \frac{\partial U}{\partial \alpha}=-2\times\sum_{t=1}^{N-1}(X_{t+1}-\hat{F}_t(1))\times \frac{\partial \hat{F}_t}{\partial \alpha} \\ \\ \frac{\partial \hat{F}_t}{\partial \alpha}=\frac{\partial S_t}{\partial \alpha}+\frac{\partial b_t}{\partial \alpha}\\ \\ \frac{\partial S_t}{\partial \alpha}= 2\times \frac{\partial S_t^{'}}{\partial \alpha}-\frac{\partial S_t^{''}}{\partial \alpha}\\ \frac{\partial b_t}{\partial \alpha} = \frac{S_t^{'}-S_t^{''}}{(1-\alpha)^2}+\frac{\alpha}{1-\alpha}\times(\frac{\partial S_t^{'}}{\partial \alpha}-\frac{\partial S_t^{''}}{\partial \alpha}) \\ \frac{\partial S_t^{'}}{\partial \alpha}=X_{t+1}+(1-\alpha)\times \frac{\partial S_{t-1}^{'}}{\partial \alpha}-S_{t-1}^{'}\\ \frac{\partial S_t^{''}}{\partial \alpha}=S_t^{'}+\alpha\frac{\partial S_t^{'}}{\partial \alpha} +(1-\alpha)\times \frac{\partial S_{t-1}^{''}}{\partial \alpha}-S_{t-1}^{''}\\ \\ \end{array} $$
    • Internamente, durante la optimización, NumXL calcula de manera recursiva tanto el suavizado de series de tiempo, de nivel y de tendencia como los derivados dentro de la muestra, los cuales se usan para la función de pérdida y sus derivadas.
    • El SPG es un método reiterativo (recursivo), y es posible que el mínimo no se pueda encontrar en el número de reiteraciones permitidas y/o toleradas. En este caso, NumXL no fracasará, en vez, NumXL usará el mejor valor de alfa encontrado hasta el momento.
    • El SPG no tiene provisiones para detectar o evadir la trampa minima local. No existe garantía del mínimo global.
16. En general, la función SSE en LESMTH cede el paso a una curva convexa monótona de suavizado continuo, ese minimizador de SPG casi siempre encuentra una solución óptima en muy pocas reiteraciones.

Ejemplo 1:

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Enlaces Relacionados

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Referencias

• Hamilton, J .D.; Time Series Analysis , Princeton University Press (1994), ISBN 0-691-04289-6
• Tsay, Ruey S.; Analysis of Financial Time Series John Wiley & SONS. (2005), ISBN 0-471-690740
• D. S.G. Pollock; Handbook of Time Series Analysis, Signal Processing, and Dynamics; Academic Press; Har/Cdr edition(Nov 17, 1999), ISBN: 125609906