DESMTH - Doble Suavizado Exponencial de Holt

1. La serie de tiempo es homogenea o igualmente espaciada.
2. La serie de tiempo puede incluir los valores faltantes (e.g. #N/A) sólo en cada extremo.
3. El suavizado exponencial doble se aplica mejor a las series de tiempo que exhiben una tendencia prevalente aditiva (no exponencial) pero no muestran estaciones.
4. 4. La forma recursiva de la ecuación de suavizado exponencial doble de Holt se expresa así:
   
   $$ \begin{array}{l} \hat{F}_t(m)=S_t+m\times b_t\\ \\ S_{t\succ 1}=\alpha \times X_t + (1-\alpha)(S_{t-1} + b_{t-1})\\ b_{t\succ 1}=\beta \times (S_t - S_{t-1})+(1-\beta)b_{t-1} \end{array} $$
   Where:
   
   • $X_t$ es el valor de la serie de tiempo en el tiempo t.
   • $S_{t}$ es un suavizado estimado del valor de la serie de tiempo X al final del período t.
   • $b_{t}$ es un suavizado estimado del crecimiento promedio al final del período t.
   • $\alpha$ es el coeficiente del suavizado de nivel.
   • $\beta$ es el coeficiente del suavizado de tendencia.
   • $\hat{F}_t(m)$ es el valor pronóstico de suavizado en el paso adelantado m para X en el tiempo t.
5. En DESMTH, nosotros calculamos dos simples, pero independientes, series exponenciales: nivel y tendencia. Son interdependientes en el sentido de que ambos componentes deben ser actualizados cada período.
6. El coeficiente de suavizado $\alpha$ se usa de nuevo para controlar la velocidad de adaptación a nivel local pero una segunda constante de suavizado $\beta$ es introducida para controlar el grado de la tendencia local llevada a cabo en períodos de pronóstico en múltiples pasos adelante.
7. Para $\alpha = \beta$, entonces el suavizado exponencial doble es equivalente al método de suavizado exponencial lineal de Brown.
8. Para $\beta = 0$ y para el valor inicial de tendencia ($b_1$) también es programado como cero, el suavizado exponencial doble de Holt produce los mismos pronósticos que produce el suavizado exponencial simple de Brown.
9. El DESMTH calcula un pronóstico de puntos. No hay modelo de probabilidad que se pueda asumir para el suavizado exponencial simple así que no podemos derivar un intervalo confiable para los valores calculados.
10. En la práctica, el error cuadrático medio (MSE, por sus siglas en inglés) para valores anteriores de pronóstico fuera de la muestra se usa, con mayor frecuencia, como indicador de incertidumbre (i.e. varianza) en el valor de pronóstico más reciente.
11. Este método requiere dos valores de inicio ($S_1,b_1$)para empezar la actualización recursiva de la ecuación. En NumXL, hemos agrupado esos valores así:
    • $S_1$ está establecido con la media dentro de la muestra, y para una serie de tiempo corta se ha establecido como el valor de la primera observación.
      
      $$ S_{1}=\left\{\begin{array}{l} X_1\\ \frac{\sum_{t=1}^N X_t}{N} \end{array}\right. \begin{array}{r} N \leq 4\\ N \gt 4 \end{array} $$
    • $b_1$ está establecido con la pendiente de la línea de tendencia de regression. Si no hay suficientes observaciones disponibles, entonces $b_1$ se toma como cero (0).
      
      $$ b_{1}=\left\{\begin{array}{l} 0\\ \mathrm{Reg.\,Slope} \end{array}\right. \begin{array}{r} N \leq 4\\ N \gt 4 \end{array} $$
12. Empezando desde la version 1.63 de NumXL, SESMTH tiene un optimizador incorporado para encontrar el mejor valor de ($\alpha,\beta$) que minimice el SSE (función de pérdida ($U(.)$)) para el pronóstico de un paso calculado dentro de la muestra.
    
    $$ \begin{array}{l} U(\alpha,\beta)=\mathrm{SSE}=\sum_{t=1}^{N-1}(X_{t+1}-\hat{F}_t(1))^2\\ \min_{\alpha,\beta \in (0,1)} U(\alpha,\beta) \end{array} $$
13. Para valores iniciales, el optimizador de NumXL utilizará el valor de registro de (alpha,beta) (si está disponible) en el problema de minimización, y los valores iniciales para las dos series de suavizado ($S_1, b_1$ ) se calcularán a partir de los datos de registro.
14. Empezando con la version 1.65 de NumXL, la función SESMTH devuelve el valor óptimo encontrado (alpha,beta), y a las series de suavizado de un paso correspondientes de nivel, de tendencia y al pronóstico calculado dentro de la muestra.
15. Las series de tiempo deben tener por lo menos cuatro (4) observaciones con valores no faltantes para usar el optimizador incorporado.
16. NumXL implementa el método de pendiente espectral proyectado (SPG) para encontrar el mínimo con una frontera en el cuadro.
    • El SPG requiere un valor de la función de pérdida y la pendiente ($\nabla$). NumXL implementa la fórmula exacta derivativa (vs. la aproximación numérica) para propósitos de funcionamiento.
      
      $$ \begin{array}{l} \nabla U = \frac{\partial U}{\partial \alpha} \vec{e_\alpha} + \frac{\partial U}{\partial \beta} \vec{e_\beta}\\ \\ \frac{\partial U}{\partial \alpha} = -2\times\sum_{t=1}^{N-1}(X_{t+1}-\hat{F}_t(1))\times \frac{\partial \hat{F}_t}{\partial \alpha}\\ \frac{\partial U}{\partial \beta} = -2\times\sum_{t=1}^{N-1}(X_{t+1}-\hat{F}_t(1))\times \frac{\partial \hat{F}_t}{\partial \beta}\\ \\ \frac{\partial \hat{F}_t}{\partial \alpha}=\frac{\partial S_t}{\partial \alpha}+\frac{\partial b_t}{\partial \alpha}\\ \frac{\partial \hat{F}_t}{\partial \beta}=\frac{\partial S_t}{\partial \beta}+\frac{\partial b_t}{\partial \beta}\\ \\ \frac{\partial S_t}{\partial \alpha}=X_t + (1-\alpha)(\frac{\partial S_{t-1}}{\partial \alpha}+ \frac{\partial b_{t-1}}{\partial \alpha})-(S_{t-1}+b_{t-1})\\ \frac{\partial S_t}{\partial \beta}=(1-\alpha)(\frac{\partial S_{t-1}}{\partial \beta}+ \frac{\partial b_{t-1}}{\partial \beta})\\ \\ \frac{\partial b_t}{\partial \alpha}= \beta \times (\frac{\partial S_t}{\partial \alpha} -\frac{\partial S_{t-1}}{\partial \alpha}) + (1-\beta) \frac{\partial b_{t-1}}{\partial \alpha}\\ \frac{\partial b_t}{\partial \beta} = (S_t-S_{t-1})+\beta(\frac{\partial S_t}{\partial \beta} -\frac{\partial S_{t-1}}{\partial \beta})+(1-\beta)\frac{\partial b_{t-1}}{\partial \beta} -b_{t-1} \\ \end{array} $$
    • Internamente, durante la optimización, NumXL calcula de manera recursiva tanto el suavizado de series de tiempo, de nivel y de tendencia como los derivados dentro de la muestra; los cuales se usan para la función de pérdida y sus derivadas.
    • El SPG es un método reiterativo (recursivo), y es posible que el mínimo no se pueda encontrar en el número de reiteraciones permitidas y/o toleradas. En este caso, NumXL no fracasará, en vez, NumXL usará el mejor valor de alfa encontrado hasta el momento.
    • El SPG no tiene provisiones para detectar o evadir la trampa mínima local. No existe garantía del mínimo global.
17. En general, la función SSE en DESMTH cede el paso a una curva convexa monótona de suavizado continuo, ese minimizador de SPG casi siempre encuentra una solución óptima en muy pocas reiteraciones.

Ejemplos de archivos

Enlaces Relacionados

• Wikipedia - Suavizamiento exponencial

Referencias

• Hamilton, J .D.; Time Series Analysis , Princeton University Press (1994), ISBN 0-691-04289-6
• Tsay, Ruey S.; Analysis of Financial Time Series John Wiley & SONS. (2005), ISBN 0-471-690740
• D. S.G. Pollock; Handbook of Time Series Analysis, Signal Processing, and Dynamics; Academic Press; Har/Cdr edition(Nov 17, 1999), ISBN: 125609906