HURST - El exponente de Hurst

Calcula el exponente Hurst (una medida de persistencia o memoria larga) para las series con más 96 observaciones.

Sintaxis

Hurst(X, Alpha, Return_type)

X

es la muestra de los datos de entrada (un array unidimensional de celdas (Por Ejemplo: filas o columnas)).

Alpha

es la significancia estadística de la prueba, es decir, $\alpha$. Si falta o es omitida, se toma un valor alpha de 5%.

Return_type

es un número que determina el tipo de valor a retornar: 1 (o faltante) = Empírica, 2 = (Anis-Lloyd/Peters) Corregida, 3 = Teoretica, 4 = Límite Superior, 5 = Límite Inferior.

Tipo de Retorno	Número Retornado o Devuelto
1 u omitido	Exponente Empírico Hurst.
2	Exponente Hurst corregido (Anis-Lloyd/Peters).
3	Exponente Hurst teórico (Anis-Lloyd/Peters).
4	Límite Superior de un intervalo de confianza empírico.
5	Límite InferIor de un intervalo de confianza empírico.

Observaciones

1. La serie de datos de entrada debe tener por lo menos 96 valores no faltantes. De otra manera, la función Hurst devuelve #VALOR.
2. Las series de datos de entrada pueden incluir valores faltantes (Por ejemplo: #N/A, #VALOR!, #NUM!, celda vacía), pero esos valores no se incluyen en los cálculos.
3. El exponente Hurst, $h$, es definido en términos del Rango Reescalado de la siguiente manera: $$E \left [ \frac{R(n)}{S(n)} \right ]=Cn^H \qquad \mathrm{as}\ n \to \infty$$ Donde:
   • $\left [ \frac{R(n)}{S(n)} \right ]$ es el Rango Re-escalado.
   • $E \left [x \right ]$ es el valor esperado.
   • $n$ es el tiempo de la última observación (Por ejemplo: este corresponde a $X_n$ es los datos de entrada de las series de tiempos de entrada.)
   • $h$ es una constante.
4. El exponente Hurst es una medida de autocorrelación (persistencia y gran memoria).
   • Un valor de $0 \lt H \lt 0.5$ indica una serie temporal con autocorrelación negativa a largo plazo (es decir, alternancia entre valores altos y bajos en pares adyacentes). Esto significa que un valor bajo probablemente seguirá a un único valor alto y que el valor siguiente tenderá a ser alto, con esta tendencia a cambiar entre valores altos y bajos que durará mucho tiempo en el futuro. Esto se denomina comportamiento antipersistente.
   • Un valor de $0.5 \lt H \lt 1$ indica una serie temporal con autocorrelación positiva a largo plazo (por ejemplo, un aumento entre valores probablemente irá seguido de otro aumento). Esto se denomina comportamiento persistente.
   • Un valor de $H=0.5$ indica una serie completamente des correlacionada. es el valor aplicable a las series para las que las autocorrelaciones en pequeños rezagos temporales pueden ser positivas o negativas, pero en las que los valores absolutos de las autocorrelaciones decaen exponencialmente con rapidez hasta cero.
5. El nombre de exponente de Hurst viene de Harold Edwin Hurst (1880-1978), hidrólogo británico que investigó la capacidad de embalse a lo largo del río Nilo.
6. El Rango Reescalado es calculado por una serie de tiempo, $X=X_1,X_2,\dots, X_n$, de la siguiente manera:
   1. Calcula la media: $$m=\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$$
   2. Crea una serie ajustada de la media: $$Y_t=X_{t}-m \qquad \mathrm{for}\ t=1,2, \dots ,n$$
   3. Calcula la serie se desviación acumulativa $Z$: $$Z_t= \sum_{i=1}^{t} Y_{i} \qquad \mathrm{for}\ t=1,2, \dots ,n$$
   4. Crea un rango de series $R$: $$ R_t = max\left (Z_1, Z_2, \dots, Z_t \right )- min\left (Z_1, Z_2, \dots, Z_t \right ) \qquad \mathrm{for}\ t=1,2, \dots, n$$
   5. Crea una serie de la desviación estándar $R$: $$S_{t}= \sqrt{\dfrac{1}{t} \sum_{i=1}^{t}\left ( X_{i} - u \right )^{2}}\qquad \mathrm{for}\ t=1,2, \dots ,n$$ Donde: $h$ es la media para los valores de las series de tiempo$X_1,X_2, \dots, X_t$
   6. Calcula las series de rango reescaladas ($R/S$): $$\left ( R/S \right )_{t} = \frac{R_{t}}{S_{t}} \qquad \mathrm{for}\ t=1,2, \dots, n$$
7. El exponente Hurst es estimado al hacer equivaler la ley potencial $E[R(n)/S(n)]=C\times n^H$ con los datos. Esto se hace tomando el logaritmo de ambos lados, y adecuando una línea recta. La pendiente de la línea da $H$. (es decir, Estimación del exponente de Hurst).
8. El método anteriormente mencionado se conoce por producir un estimado parcial del exponente de la ley potencial y para pequeños grupos de datos, existe una desviación de pendiente de 0.5 (es decir, ruido blanco). Anis-LIoyd estimó el valor teórico del ¨ruido blanco¨ o white-noise de la estadística $R/S$ de la siguiente manera: $${\displaystyle \operatorname {E} [R(n)/S(n)]={\begin{cases}{\frac {\Gamma ({\frac {n-1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n\leq 340\\{\frac {1}{\sqrt {n{\frac {\pi }{2}}}}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n>340\end{cases}}}$$ Donde $\Gamma es la función gamma de Euler.
9. Ninguna teoría de distribución asintótica ha sido derivada para la mayoría de exponentes Hurst estimados hasta el momento, pero una forma aproximada funcional de la serie Anis-LIoyd corregida R/S está disponible. Para el 95% de intervalos de confianza, la forma funcional para los límites del intervalo de confianza se expresa de la siguiente manera: $$LL=0.5 - \frac{e^{4.21}}{\ln(M)^{7.33}}$$ $$UL=0.5 + \frac{e^{4.04}}{\ln(M)^{7.20}}$$ Donde $M =\lfloor {\log_2(N)} \rfloor$.
10. Finalmente, El exponente Hurst de la serie Anis-Lloyd corregida $R/S$ es calculada como 0.5 más la pendiente de ${\displaystyle R(n)/S(n)-\operatorname {E} [R(n)/S(n)]}$.

Ejemplos de archivos

Enlaces Relacionados

• Wikipedia - Hurst Exponent.

Referencias

• [1] A.A.Anis, E.H.Lloyd (1976) The expected value of the adjusted rescaled Hurst range of independent normal summands, Biometrica 63, 283-298.
• [2] H.E.Hurst (1951) Long-term storage capacity of reservoirs, Transactions of the American Society of Civil Engineers 116, 770-808.
• [3] E.E.Peters (1994) Fractal Market Analysis, Wiley.
• [4] R.Weron (2002) Estimating long-range dependence: finite sample properties and confidence intervals, Physica A 312, 285-299.
• Hamilton, J .D.; Time Series Analysis, Princeton University Press (1994), ISBN 0-691-04289-6.
• Tsay, Ruey S.; Analysis of Financial Time Series John Wiley & SONS. (2005), ISBN 0-471-690740.