HURST - El exponente de Hurst

1. La serie de datos de entrada debe tener por lo menos 96 valores no faltantes. De otra manera, la función Hurst devuelve #VALOR.
2. Las series de datos de entrada pueden incluir valores faltantes (Por ejemplo: #N/A, #VALOR!, #NUM!, celda vacía), pero esos valores no se incluyen en los cálculos.
3. El exponente Hurst, $h$, es definido en términos del Rango Reescalado de la siguiente manera:
   
   $$E \left [ \frac{R(n)}{S(n)} \right ]=Cn^H \qquad \mathrm{as}\ n \to \infty $$
   
   Donde:
   
   • $\left [ \frac{R(n)}{S(n)} \right ]$ es el Rango Re-escalado.
   • $E \left [x \right ]$ es el valor esperado.
   • $n$ es el tiempo de la última observación (Por ejemplo: este corresponde a $X_n$ es los datos de entrada de las series de tiempos de entrada.)
   • $h$ es una constante.
4. El exponente Hurst es una medida de autocorrelación (persistencia y gran memoria).
   
   
   • Un valor de $0 \lt H \lt 0.5$ indica una serie de tiempo con autocorrelación negativa (Por ejemplo: un decrecimiento entre valores probablemente será seguido por otro decrecimiento),
   
   
   • Un valor de $0.5 \lt H \lt 1$ indica una series de tiempo con autocorrelación positiva (Por ejemplo: un incremento entre valores probablemente será seguido por otro incremento,
   
   
   • Un valor de $H=0.5$ indica un "verdadero paseo aleatorio", donde es igualmente probable que una disminución o un aumento seguirán a partir de un valor particular (Por ejemplo: la serie temporal no tiene memoria de los valores anteriores)
5. El nombre de exponente de Hurst viene de Harold Edwin Hurst (1880-1978), hidrólogo británico que investigó la capacidad de embalse a lo largo del río Nilo.
6. El Rango Reescalado es calculado por una serie de tiempo, $X=X_1,X_2,\dots, X_n$, de la siguiente manera:
   
   
   1. Calcula la media:
      
      $$m=\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$$
   2. Crea una serie ajustada de la media:
      
      $$Y_t=X_{t}-m \qquad \mathrm{for}\ t=1,2, \dots ,n$$
   3. Calcula la serie se desviación acumulativa Z:
      
      $$Z_t= \sum_{i=1}^{t} Y_{i} \qquad \mathrm{for}\ t=1,2, \dots ,n$$
   4. Crea un rango de series R:
      
      $$ R_t = max\left (Z_1, Z_2, \dots, Z_t \right )- min\left (Z_1, Z_2, \dots, Z_t \right ) \qquad \mathrm{for}\ t=1,2, \dots, n$$
   5. Crea una serie de la desviación estándar R:
      
      $$S_{t}= \sqrt{\dfrac{1}{t} \sum_{i=1}^{t}\left ( X_{i} - u \right )^{2}}\qquad \mathrm{for}\ t=1,2, \dots ,n$$
      
      Donde:
      
      $h$ es la media para los valores de las series de tiempo$X_1,X_2, \dots, X_t$
   6. Calcula las series de rango reescaladas (R/S):
      
      $$\left ( R/S \right )_{t} = \frac{R_{t}}{S_{t}} \qquad \mathrm{for}\ t=1,2, \dots, n$$
7. El exponente Hurst es estimado al hacer equivaler la ley potencial $E[R(n)/S(n)]=C\times n^H$ con los datos. Esto se hace tomando el logaritmo de ambos lados, y adecuando una línea recta. La pendiente de la línea da H. (i.e. Hurst Exponent Estimate).
8. El método anteriormente mencionado se conoce por producir un estimado parcial del exponente de la ley potencial y para pequeños grupos de datos, existe una desviación de pendiente de 0.5 (i.e. ruido blanco). Anis-LIoyd estimó el valor teórico del ¨ruido blanco¨ o white-noise de la estadística R/S de la siguiente manera: $${\displaystyle \operatorname {E} [R(n)/S(n)]={\begin{cases}{\frac {\Gamma ({\frac {n-1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n\leq 340\\{\frac {1}{\sqrt {n{\frac {\pi }{2}}}}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n>340\end{cases}}}$$ Donde $\Gamma is the Euler Gamma Function
9. Ninguna teoría de distribución asintótica ha sido derivada para la mayoría de exponentes Hurst estimados hasta el momento, pero una forma aproximada funcional de la serie Anis-LIoyd corregida R/S está disponible. Para el 95% de intervalos de confianza, la forma funcional para los límites del intervalo de confianza se expresa de la siguiente manera: $$LL=0.5 - exp(4.21 -7.33\times ln(ln(M)))$$ $$UL=0.5 + exp(4.77 -3.10\times ln(ln(M)))$$ Donde $M = log_2(N)$
10. Finalmente, El exponente Hurst de la serie Anis-Lloyd corregida R/S es calculada como 0.5 más la pendiente de ${\displaystyle R(n)/S(n)-\operatorname {E} [R(n)/S(n)]}$

Ejemplo 1:

Ejemplos de archivos

Enlaces Relacionados

• Wikipedia - Hurst Exponent

Referencias

• [1] A.A.Anis, E.H.Lloyd (1976) The expected value of the adjusted rescaled Hurst range of independent normal summands, Biometrica 63, 283-298.
• [2] H.E.Hurst (1951) Long-term storage capacity of reservoirs, Transactions of the American Society of Civil Engineers 116, 770-808.
• [3] E.E.Peters (1994) Fractal Market Analysis, Wiley.
• [4] R.Weron (2002) Estimating long range dependence: finite sample properties and confidence intervals, Physica A 312, 285-299.
• Hamilton, J .D.; Time Series Analysis , Princeton University Press (1994), ISBN 0-691-04289-6
• Tsay, Ruey S.; Analysis of Financial Time Series John Wiley & SONS. (2005), ISBN 0-471-690740