Parte III - Encontrando Valores Iniciales Óptimos para Suavizado

En la práctica, la función de suavizado exponencial de Brown se adecua más para las series de tiempo que no exhiben una tendencia a la subida o a la bajada o estacionalidad. Se asume que las series de tiempo de datos de ingreso tienen una media cambiante que no es fija con el tiempo. La fórmula recursiva para la función de suavizado exponencial simple se expresa así: 

$$S_{t>1} = \alpha\times X_t +(1-\alpha)\times S_{t-1}$$ $$\textrm{OR}$$ $$S_{t>1}=\alpha\times X_t + \alpha(1-\alpha)X_{t-1}+\cdots+\alpha(1-\alpha)^{t-1}X_1+(1-\alpha)^t S_1$$

Donde:

• X_t es el valor de las series de tiempo para el tiempo t.
• S_t es el nivel de suavizado.
• α es el factor de suavizado/ coeficiente para el nivel (0 ≤ α ≤1).

Para ilustrar cómo funciona esta fórmula, repitamos unos cuantos pasos:

$$S_{1} = ?$$ $$S_{2} = \alpha\times X_{2} + (1-\alpha) \times S_{1}$$ $$S_{3} = \alpha\times X_{3} + (1-\alpha) \times S_{2}$$ $$S_{4} = \alpha\times X_{4} + (1-\alpha) \times S_{3}$$ $$\cdots$$ $$S_{n} = \alpha\times X_{n} + (1-\alpha) \times S_{n-1}$$

El coeficiente de suavizado (α), controla la velocidad de adaptación de los niveles suavizados, pero debemos escoger el valor inicial de S₁? con cuidado, porque una mala decisión requerirá de más tiempo antes de que la fórmula de suavizado recursivo se pueda adaptar y logre disipar este efecto. El impacto es muy tangible entre series de tiempo pequeñas y aquellas con un valor pequeño.

¿Por qué nos debe importar?

Para series de tiempo pequeñas y medianas, el valor del nivel inicial tiene un efecto increíblemente grande en los valores de pronóstico tempranos, conduciéndonos a pobres valores de pronóstico. Como una buena práctica, todos los usuarios de NumXL deberían encontrar los valores óptimos del coeficiente suavizado y programar un valor inicial para acelerar una optimización de convergencia.

Adicionalmente, para aquellos que deseen rastrear y verificar los cálculos intermedios, sabiendo que el criterio de selección de valor inicial es vital para alcanzar valores idénticos. Hay cuatro métodos diferentes para estimar el mejor valor inicial para suavizado exponencial.

Método 1: Primer Valor de observación

Simplemente programe el valor en S₁ igual al de X₁. Este método se encuentra en casi todos los textos así que ¿por qué debemos usarlo? Al dejar que las series de nivel de suavizado empiecen en el mismo valor de las series de tiempo de ingreso, el valor de la primera observación tendrá un impacto increíble en el valor de pronóstico. El impacto se encuentra particularmente en los valores del coeficiente de suavizado pequeño, que podrían llevarnos a un ajuste pobre y a valores de pronóstico.

Método 2: Valor promedio de las pocas primeras observaciones

Si su serie de tiempo tiene 5 o más observaciones, programe S₁ como el promedio de las primeras 4 observaciones.

$$S_1=\left\{\begin{matrix} X_1 & N\leqslant 4 \\ \frac{\sum_{i=1}^4 X_i}{4} & N > 4 \end{matrix}\right.$$

En este método, se mitigó el impacto de un valor de observación en el valor de pronóstico. Sin embargo, no estamos seguros si el valor inicial del nivel de suavizado es óptimo.

¿Por qué este método toma solamente las primeras 4 observaciones y no el promedio del total de la muestra de datos? No existe una regla sólida de cuántas observaciones incluir pero, en la práctica, es mejor usar menos de diez (10) observaciones para estimar el valor inicial (S₁).

Método 3: Backcasting

Backcasting quiere decir, simplemente, revertir las series de tiempo, de manera que podamos pronósticar hacia el pasado en vez de hacia el futuro. En este método, emplearemos el algoritmo de suavizado para estimar el valor yéndonos hacia atrás en las series. Muchos practicantes y académicos proponen con ahínco el uso del método de backcasting.

El método de backcasting calcula el valor inicial así:

• Revirtiendo el orden crónico de las series de tiempo.
• Estimando el valor inicial de las series de tiempo revertidas usando el método 2 (ver arriba).
• Aplicando la función de suavizado exponencial en las series de tiempo revertidas y calculando el nivel de suavizado para todas las observaciones.
• Encuentre un valor óptimo para el coeficiente de suavizado.
• Usando el valor de coeficiente de suavizado, calcule el nivel de la última observación. Esto servirá como valor inicial estimado para las series de tiempo originales.

Método 4: Optimización

Este método busca los valores óptimos del nivel inicial (S₁) y el valor del coeficiente de suavizado (α) que minimiza la suma de los errores cuadráticos entre el nivel de suavizado y los valores originales de las series de tiempo.

A diferencia del coeficiente de suavizado (α), los valores del nivel de inicio (S₁) son ilimitados lo cual puede ser un reto para muchos optimizadores no lineales. Sin embargo, este problema puede ser fácilmente manejado si se reduce el valor.

El método 4 debe producir los mejores resultados pero toma más tiempo converger que optimizar solamente para el parámetro de suavizado. Sin embargo, tener buenos valores iniciales acelerará el proceso de optimización significativamente.

Conclusión

¿La anticipada mejora de exactitud garantiza el esfuerzo adicional?

Deshagámonos de un par de cosas. Primero, la complejidad sumada de estimar un mejor valor inicial se maneja primariamente por programas de computación de manera que, por lo menos, mejorará el algoritmo de suavizado sin ningún esfuerzo adicional de nuestra parte. Segundo, tendremos aún que apelar a nuestra intuición para asegurarnos que nuestro conjunto de datos se ajuste de la mejor manera con el modelo de suavizado exponencial.

No todas las funciones de suavizado son creadas o implementadas de la misma manera, y los procesos de estimación del valor inicial generan un impacto directo en la exactitud de nuestro pronóstico final.

En conclusión, empleamos el método de backcasting para encontrar el valor del nivel inicial (S₁), luego utilizamos el optimizador para encontrar el valor óptimo para el parámetro de suavizado (i.e., alpha).

Continuaremos discutiendo cómo estimar los valores iniciales para todas las funciones de suavizado exponencial así que permanezcan conectados.