En esta entrada, vamos a revisar el modelo de precios de activos de capital (CAPM), un modelo simple pero ampliamente usado en finanzas. La fortaleza principal de CAPM –y su principal debilidad- es que asume una única fuente de riesgo (ej. Riesgo de mercado) y luego descarta todo lo demás como ¨idionsincrático¨ (ej. No-sistemático). Este ensayo sentará las bases de técnicas más avanzadas de modelado en próximos problemas.
Empezaremos discutiendo las conjeturas subyacentes, definiendo los riesgos sistemáticos e idionsicráticos, y resumiendo su influencia en la covarianza entre activos. Luego, usando un modelo simple de regresión, intentaremos computar el factor de sensibilidad CAPM (Beta) para dos acciones tecnológicas: Microsoft e IBM.
Nuestra meta al aplicar CAPM a estas acciones tecnológicas es calcular la sensibilidad de cada acción (ej. Beta) en riesgo de mercado no diversificado. Para hacerlo, usaremos un modelo simple de regresión lineal, luego un proceso normal para validar las suposiciones del modelo y asegurar su estabilidad sobre los datos de la muestra.
Para los datos de muestra, hemos usado las devoluciones mensuales entre Julio de 2001 y Mayo de 2013 (140 observaciones). Para el reisgo de mercado, seleccionamos los retornos mensuales del Índice de Russell 3000, y para menor riesgo, optamos por las devoluciones de cuentas de recaudación de 4 semanas (TBILL).
Trasfondo
En finanzas, el modelo de precios de acciones de activos de capital (CAPM) se usa para determinar la tasa apropiada requerida de retorno de una acción (o portafolio). CAPM tiene en cuenta la sensibilidad de las acciones al riesgo no diversificado (aka riesgo sistemático o de mercado).
$$E[R^T_i]-R^T_f=\beta_i\times\left(E[R_M^T]-R_f^T \right )$$ $$\beta_i= \frac{E[R^T_i]-R^T_f}{E[R_M^T]-R_f^T}$$
Donde:
- $E[R^T_i]$ es el resultado esperado de una acción I sobre un período de tenencia T.
- $R^T_f$ es el retorno libre de riesgo durante un período T.
- $\beta_i$ es la sensibilidad del retorno de exceso de las acciones sobre el retorno de exceso de mercado.
- $E[R_M^T]$ es el retorno esperado del mercado sobre un período de tenencia T.
- $E[R_M^T]-R_f^T$ es el mercado premium (retorno esperado de exceso de mercado). $E[R^T_i]-R^T_f$ es referido como el riesgo premium (retorno esperado de exceso de acciones). En otras palabras, el riego de acciones premium es igual al mercado premium multiplicado por su Beta.
La ecuación anterior describe un modelo de regresión linear simple (con interceptación cero) entre los retornos de exceso de aciones y los retornos de exceso de mercado.
$$R_i^T-R_f^T=\beta_i\times\left(R_M^T-R_f^T \right )+\varepsilon_i$$ $$\varepsilon_i\sim i.i.d\sim N(0,\sigma_{\varepsilon_i}^2)$$
Con frecuencia se habla de $\sigma_{\varepsilon_i}$ iomo el riesgo idiosincrático k (i.e. riesgo que es específico a la acción misma, y no tanto al mercado en general).
Finalmente, $\beta_i$ es la pendiente (sensibilidad) y puede ser expresada como aparece a continuación:
$$\beta_i=\frac{Cov(R_i^T,R_M^T)}{Var(R_M^T)}$$
Además, para dos acciones, la covarianza puede ser calculada usando CAPM como aparece a continuación:
$$Cov(R_i,R_j)=E[R_i\times R_j]=E[(R_i-R_f)(R_j-R_f)]$$ $$Cov(R_i,R_j)=E[(\beta_i (R_M-R_f)+ \varepsilon_i)\times (\beta_j (R_M-R_f)+\varepsilon_j)]$$ $$Cov(R_i,R_j)=E[\beta_i\beta_j (R_M-R_f)^2 + \beta_i (R_M-R_f)\varepsilon_j + \beta_j (R_M-R_f)\varepsilon_i + \varepsilon_i \varepsilon_j]$$ $$Cov(R_i,R_j)=\beta_i\beta_j E[(R_M-R_f)^2]=\beta_i\beta_j Var(R_M)$$
Basándonos en CAPM, la varianza (o riesgo) de cada acción consiste en dos componentes: riesgo sistemático e idiosincrático.
$$Var(R_i^T)= \beta_i^2 Var(R_M^T)+\sigma_{\varepsilon_i}^2$$
¿Por qué nos importa?
Basados en la teoría CAPM, podemos calcular no solamente los retornos esperados sino también construir una matriz de covarianza de las distintas acciones. Notese que la varianza de cada acción consiste en dos componentes.
Caso 1: Microsoft
La Corporación Microsoft desarrolla, da licencias y presta soporte a productos de software y servicios, así como también diseña y vende hardware al rededor del mundo. Microsoft es una compañía de capital abierto que según NASDAQ tiene un mercado de capital de 290B.
Grafiquemos los retornos de exceso mensual de Microsoft y Russell 3000 (proxy del mercado):
Luego, grafiquemos el diagrama de dispersión para dos conjuntos de datos y dibujamos una línea de tendencia linear para subrayar la correlación entre las dos:
Usando la herramienta de regresión linear en Numxl, designaremos los retornos de exceso mensual de Microsoft como la variable dependiente (Y) y aquellos de Russell 3000 como la variable independiente (I.e.X).
Desde “Opciones” despliegue la pestaña de cuadro de diálogo de regresión, programe el valor interceptación/constante como cero.
Nota:
Puede dejar el valor interceptación/constante flotando (ej. Sin programar) y la regresión lo encontrará significante. Inténtelo.
Cuando haya terminado haga click en “OK.” La herramienta de regresión generará varias tablas de resultado.
El modelo de regresión (i.e. CAPM) es estadísticamente significante (tabla ANOVA) y captura al rededor de un 40% de varianza de exceso de retorno mensual MSFT. Beta (ej. coeficiente Russell 3000) tiene un valor promedio de 0.98 con un error de 0.10.
Esto es bueno por ahora, así que examinemos los residuos estandarizados de la regresión (tabla de la derecha). Los residuos exhiben un sesgo positivo y colas gruesas y, por consiguiente, falla en examen de normalidad.
Para darnos una mejor idea de distribución residual, creamos la gráfica QQ con una distribución teorética Gaussiana:
La gráfica QQ muestra una pequeña desviación de la normalidad a los valores positivos (ej. Desviación) y una cola gruesa (negativa).
Antes de empezar a usar CAMP y nuestra regresión Beta para determinar el retorno apropiado requerido de Microsoft, debemos preguntarnos unas cuantas preguntas clave primero:
Q: ¿Es el modelo de regresión estable? ¿Difiere el valor de Beta significativamente a través de los datos de muestra?
A: Para responder esta pregunta, dividamos los datos de muestra en dos sub conjuntos: el conjunto 1 que incluye todas las observaciones previas a 2008 (~ 70 observaciones) y el conjunto de datos 2 que cubre las observaciones empezando desde Enero de 2008 a Mayo de 2013 (~ 70 observations).
Usando la herramienta de Prueba de Regresión de estabilidad en NumXL, conducimos esta prueba imperativa. Similar a lo que hicimos con la herramienta de regresión, el exceso de retornos de Russell es la variable independiente (X), y los retornos MSFT son la variable dependiente (Y).
En la pestaña “Opciones”, programe interceptación/constante como zero.
Ahora, Haga click en “OK.” La herramienta genera la tabla de resultado de la prueba de estabilidad estadística.
El valor Beta es estable a través de nuestro conjunto de datos de muestra (del 2001 al 2013). Calculemos y grafiquemos el valor de beta a lo largo del conjunto de datos. El área sombreada es nuestro intervalo de confianza de 95%.
Q: ¿Están serialmente correlacionados los residuos estandarizados (aka auto)?
A: La prueba de ruido blanco responde esta pregunta específica, y está disponible en la pestaña de pruebas estadísticas de NumXL.
En la pestaña de “Opciones”, programe la máxima orden de retraso como 12 (1 año). Haga click en “OK.”
Las series de tiempo residuales no muestran una correlación serial significante.
Hasta el momento, hemos encontrado lo siquiente:
- Los retornos mensuales de las acciones de Microsoft tienen una sensibilidad promedio de 0.98 con respecto al mercado en general.
- El riesgo residual (aka idiosincrático) (i.e. $\sigma_{\varepsilon}$ ) está cerca de 5.54%.
Q: ¿Tenemos observaciones que afecten significativamente la regresión mas que otras (ej. Datos que influencien)?
A: Para responder esta pregunta, calcularemos la distancia Cook para cada observación en los datos de muestra. Además, usaremos el umbral heurístico de $\frac{4}{N}$ para identificar aquellos puntos influenciadores. N es el número de valores no faltantes en el conjunto de datos.
Para manejar puntos de datos y puntos de influencia, hemos decidido removerlo programando los retornos MSFT como #N/A, removiendo así la observación de cualquier análisis. Removemos una observación a la vez (la que tiene la mayor distancia Cook), luego recalculamos la distancia Cook para los restantes puntos de datos usando un conjunto de datos reducido. Notemos que el umbral aumenta levemente a medida que disminuimos nuestras observaciones. Continuamos con el proceso hasta que no haya a la vista ningún dato aparentemente influyente.
Notemos que el umbral $\frac{4}{N}$ es heurístico, así que aceptamos puntos de datos cuya distancia Cook sea levemente más alta que el umbral. Recalculando la regresión (SHIFT+F9), observamos que el nuevo valor de Beta es (1.21) y el error de regresión es (5.07%).
Graficando el valor Beta CAPM a lo largo de los datos de muestra, observamos que Beta cambia ligeramente con el tiempo y tiene tendencia a descender con el tiempo. Uno podría concluir que la sensibilidad MSFT para el riesgo de mercado está disminuyendo, debido a su capitalización de mercado o a la naturaleza de inversión que la compañía misma está comenzando.
Caso 2: IBM
La Corporación IBM -por sus siglas en Inglés: (IBM- International Business Machines) provee productos de información tecnológica (IT) a lo largo del mundo. La compañía opera en cinco segmentos: Servicios Globales de Tecnología, Servicios Globales de Negocios, Sofware, Sistemas y tecnología, y Financiamiento global. IBM fue negociada públicamente, enunciada por NYSE como una capitalización de mercado de 233B.
Grafiquemos el exceso de retornos mensuales de IBM junto con los excesos de retorno de Russell 3000 (proxy del mercado).
Luego, tracemos la gráfica de dispersión para los dos conjuntos de datos y dibujemos una línea de tendencia linear para subrayar la correlación entre las dos.
Las dos series demuestran una fuerte correlación entre ambas. De nuevo, usando la herramienta de regresión, designemos el exceso de retornos de IBM como una variable dependiente y Russell 3000 como independiente, programando la pestaña interceptación/constante como cero.
Las tablas de resultado muestran resultados similares a lo que vimos con el caso Microsoft. Examinemos los residuos de distribución más de cerca usando la gráfica QQ-Plot.
La gráfica QQ exhibe una desviación positiva, con una cola gruesa pesada al lado izquierda (negativa).
Antes de que empecemos a usar CAMP para nuestra regresión Beta para determinar el retorno apropiado requerido de Microsoft, tenemos que hacernos unas preguntas clave:
Q: ¿Es el modelo de regresión estable? ¿Es el valor de Beta significativamente diferente a lo largo de la muestra de datos?
A: De nuevo, dividiremos el conjunto de datos en 2 sub conjuntos separados: el conjunto de datos 1 incluye todas las observaciones anteriores a 2008, y el conjunto de datos 2 incluye todas las observaciones empezando en Enero de 2008 hasta la fecha. Usando la prueba de regresión de estabilidad de NumXL, especificamos los valores de la variable independiente (X) y dependiente (Y) para cada conjunto de datos, programemos la interceptación como cero y hagamos click en “OK.”
La prueba fallo. Tenemos una fractura estructural en el conjunto de datos. Esto se puede interpretar a medida que el valor de Beta cambia significativamente.
Qué podemos hacer ahora? Primero grafiquemos el valor de Beta sobre el tiempo, en un intento de identificar los puntos donde los cambios estructurales comienzan.
Las acciones de IBM has experimentado un cambio de Beta que empezó en el 2008. Esto puede deberse a cambios de las políticas internas de la compañía: tipo de inversión, exposición particular al mercado, etc. El dato importante aquí es que la identidad de las acciones de IBM cambió (con respecto a CAMP).
En suma, necesitamos deshacernos de las observaciones previas a 2008 y usar las más recientes observaciones (ej. 2008 a Mayo de 2013) para estimar el CAPM de Beta.
Examinando los resultados de regresión (usando las observaciones post 2008), Beta tiene un valor de media de 0.66. Además, todas las pruebas de diagnóstico residual pasaron. Adicionalmente, el riesgo no sistemático (ej. Error de regresión estándar) está al rededor de 4%.
En resumen, las acciones de IBM pasaron de un valor alto de Beta sobre 1 a un valor por debajo de 1.
Q: ¿Están los residuos de regresión estándar (aka auto) serialmente correlacionados?
A: La prueba de ruido blanco responde a esta pregunta específica, y está disponible en la pestaña de pruebas estadísticas de NumXL.
Las series de tiempo residuales no muestran una correlación serial significativa.
Q: ¿Tenemos observaciones que afecten significativamente la regresión más que otras (ej. Datos influyentes)?
A: Para responder a la pregunta anterior, calculamos la distancia Cook para cada observación en los datos de muestra post 2008.
Similar a lo que hicimos en el caso Microsoft, hemos removido los datos influyentes programando los retornos MSFT como #N/A, removiendo así la observación de cualquier análisis. Hemos removido una observación a la vez (una con la más alta distancia Cook), luego hemos recalculado la distancia Cook para los puntos de dato restantes usando un conjunto de datos reducido. Nótese que el umbral ha incrementado levemente a medida que reducimos las observaciones. Hemos continuado con el proceso hasta que no hay a la vista más datos aparentemente influyentes.
Recalculando el modelo de regresión:
El error no sistemático descendió a 3.42% (de 4.27% anterior), y todas las pruebas de diagnóstico residual pasaron.
Graficando el valor CAMP beta a lo largo de la muestra de datos, observamos que Beta cambia levemente con el tiempo y tiende a subir. Uno podría concluir que la sensibilidad MSFT al riesgo de mercado está subiendo debido a la naturaleza de nuevas inversiones que la compañía está llevando a cabo.
Conclusión
En esta entrada, hemos demostrado el proceso para calcular CAMP de Beta para dos acciones de tecnología: IBM y MSFT.
En ambos casos, propusimos un modelo de regresión simple y linear para los excesos de retorno mensual versus los excesos de retorno mensual del índice Russell 3000 (proxy del mercado). El descenso de regresión es el empírico CAMP Beta y el error de regresión estándar es visto como el error de acciones no sistemático (idiosincrático).
Luego, llevamos a cabo un proceso de análisis de regresión plana: ANOVA, prueba de valor de coeficiente, diagnóstico residual, prueba de estabilidad de regresión y análisis de datos influyentes.
El CAMP de Beta calculado mejoró significativamente a medida que llevábamos a cabo el análisis de los resultados de regresión.
Todas las herramientas que necesitas para llevar a cabo este ejercicio son parte de NumXL 1.60 Pro. CAPM es un modelo de un solo factor relativamente simple. Más adelante enfrentaremos mútliples factores (e.g. Fama-French tres (3) modelos de factor (FFM), etc.), que pueden sumar algo de complejidad numérica mientras los pasos básicos y la intuición permanecen igual.
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