Qual é a importância da volatilidade? Primeiro, a volatilidade ou o desvio padrão é uma medida importante do risco de mercado. Em segundo lugar, ela é frequentemente usada para precificar instrumentos derivativos (por exemplo, opções).
Neste artigo, demonstraremos as poucas etapas necessárias para converter os dados do índice de mercado S&P 500 em uma previsão de volatilidade robusta usando o complemento NumXL no Microsoft Excel.
Para nossa finalidade, estamos usando os preços do ETF S&P 500 (também conhecido como SPDR) como um substituto para o mercado de ações de grande capitalização dos EUA. Além disso, estamos usando os preços mensais (tabulados no início do mês) que vão de janeiro de 2000 a fevereiro de 2012.
O objetivo aqui é construir uma previsão de volatilidade baseada em modelo para os próximos 12 meses (ou seja, até o final de fevereiro de 2013).
Etapa 1: Retornos mensais
A série temporal dos preços do SPDR não é estacionária e, portanto, não é adequada para muitas séries temporais ou análises econométricas. Portanto, primeiro a convertemos em retornos mensais. Além disso, escolhemos os retornos logarítmicos em vez dos retornos simples para distribuir os valores da série temporal, pois os retornos simples, por definição, não podem ser inferiores a menos 1 (-100%).
No gráfico abaixo, plotamos a média móvel ponderada (WMA) de 12 meses e a série temporal da volatilidade ponderada exponencial (EWMA) para demonstrar a variação da média e da volatilidade ao longo do tempo.
Observe que a previsão da volatilidade (proxy pela EWMA) se move suavemente (ao contrário dos retornos), mas é mais sensível a retornos negativos do que a um mercado de retornos positivos.
Etapa 2: Estatísticas resumidas
Vamos agora calcular as estatísticas descritivas da amostra de retornos mensais: média, desvio padrão, etc., para nos ajudar a entender melhor os dados. As funções integradas do NumXL podem ser utilizadas conforme mostrado para gerar um conjunto de estatísticas para resumir as tendências passadas do mercado.
Usando o assistente de estatísticas resumidas, insira o conjunto de dados de entrada (por exemplo, retorna o intervalo de células na coluna H) na guia "Time Series", a célula inicial no intervalo de saída e clique em OK.
A tabela de saída gerada é mostrada abaixo. Observe que as células da tabela de saída estão conectadas às fontes de dados de entrada; o assistente de Resumo estatístico grava as fórmulas de cada saída usando os rótulos especificados na primeira linha de cada coluna de dados.
O exame da tabela de resultados demonstra que a distribuição dos retornos logarítmicos apresenta inclinação negativa (inclinada para a esquerda) e caudas gordas. Além disso, o resultado do teste de ruído branco indica a ausência de qualquer correlação serial significativa entre os retornos. Em suma, esses resultados indicam que esses dados podem ser bem representados por um modelo do tipo GARCH.
Etapa 3: Modelagem E-GARCH
Logo no início, observamos que a previsão de volatilidade (proxy EWMA) reagia de forma diferente aos retornos negativos (queda) do que aos positivos. Felizmente, o GARCH exponencial (E-GARCH) capta esse fenômeno
O NumXL oferece suporte a três (3) tipos de distribuições para os resíduos: (1) Gaussiana, (2) Distribuição de erro generalizada (GED) e (3) Distribuição t de Student. Os dados de amostra exibem um excesso de curtose relativamente baixo, de modo que o modelo GARCH captará todo o excesso de curtose, permitindo, assim, que os resíduos sejam distribuídos normalmente (ou seja, gaussianos).
Depois de inserir o conjunto de dados de entrada em Time Series e a célula do intervalo de saída, o modelo pode ser selecionado e deve ser preparado com a inserção de alguns parâmetros específicos do modelo. Observe que, embora esses valores ainda não sejam conhecidos, deve ser inserida uma estimativa grosseira e inteligente.
Assim como nas estatísticas resumidas, as células da tabela de saída E-GARCH são conectadas aos dados de entrada de origem por meio das fórmulas.
Etapa 4: Calibração do E-GARCH
Para ajustar (ou seja, calibrar) o modelo com nossos dados de amostra: (1) selecione a célula rotulada como "EGARCH(1,1)", (2) clique no ícone ou item de menu Calibrate (Calibrar) e, por fim, (3) clique no botão Solve (Resolver).
O MS Excel Solver maximizará a função de log-likelihood (LLF) alterando os valores dos coeficientes.
Etapa 5: Diagnóstico residual
Depois que os coeficientes do modelo E-GARCH são calibrados, podemos examinar os resíduos padronizados do modelo para garantir que eles satisfaçam as pressuposições subjacentes do modelo (ou seja, normalmente distribuídos).
Usando a tabela de diagnóstico de resíduos, observamos que todos os testes foram aprovados, com a mera exceção do teste ARCH, que sugere a presença de uma dependência de ordem superior (ou seja, quadrática). Para fins deste artigo, aceitaremos o modelo calibrado.
A família de modelos GARCH captura um fenômeno comum e importante para a volatilidade: a reversão à média. Usando nosso modelo E-GARCH, a volatilidade mensal de longo prazo é estimada em 4,66% (ou 16,14% ao ano).
Etapa 6: Previsão de volatilidade
A família de modelos GARCH descreve a variação da volatilidade em uma etapa (ou seja, local) ao longo do tempo, mas, na prática, precisamos de valores de volatilidade que abranjam várias etapas (ou seja, global ou a termo). Neste artigo, prepararemos as volatilidades local e a termo para os próximos 12 meses.
Para isso, (1) selecione a célula com o texto "EGARCH(1,1)" (2) clicar no ícone ou menu "Forecast" (Previsão), selecionar os últimos (3) retornos realizados e (4) volatilidades, (5) alterar o horizonte de previsão e (6) especificar o local de saída. Por fim, selecione "OK".
Notas
- 1. Os dados de entrada devem representar as observações mais recentes. Para o modelo E-GARCH (1, 1), são necessários pelo menos um ou dois retornos observados.
- 2. A previsão de volatilidade Realizada (dados de entrada) é a volatilidade mais recente. Como a volatilidade não é observada diretamente, é necessário calculá-la usando seu método favorito. Neste exemplo, foi utilizado o desvio padrão da janela de 12 meses.
A tabela gerada pela previsão do NumXL é a seguinte:
O modelo E- GARCH afirma que estamos atualmente em uma arena de volatilidade historicamente baixa e prevê um aumento (reversão à média) na volatilidade geral para seu nível de longo prazo (4,66%/mês ou 16,14%/ano).
Mais especificamente, esses resultados indicam que, para o mês de fevereiro de 2012 (ou seja, terminando em 1º de março de 2012), prevemos uma volatilidade menor do que a de janeiro de 2012 porque o valor é menor do que a linha de base de longo prazo de 4,66%.
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