Volatilidad 1: Lo Básico

Esta es la primera entrada de lo que se convertirá en una serie en desarrollo de modelado de volatilidad. En este ensayo, empezaremos a hablar de la definición y las dinámicas generales de volatilidad en series financieras de tiempo. Luego, usaremos el histórico de datos para desarrollar unos cuantos métodos para estimar la volatilidad. Estos métodos van a arar el camino hacia tratamientos más avanzados para futuros problemas.

¿Por qué nos debe importar? Predecir volatilidad es crucial para muchas funciones en los mercados financieros. Para empezar, muchos usan la volatilidad en la gestión de riesgo (e.g. VaR), opciones de precio, asignación de activos y muchas otras aplicaciones. Entender la volatilidad es vital para todos los análisis virtuales de series temporales.

Para una muestra de datos, usaremos los retornos diarios S&P 500 entre Enero de 2002 y Junio 8 de 2012. Todos los ejemplos se llevarán a cabo en Excel usando sólo las funciones de NumXL.

Hacia el final de este ensayo, esperamos que consigan entender las diferentes clases de volatilidad de mercado y desarrollar una intuición para dinámicas de volatilidad.

 

Antecedentes

En finanzas, la volatilidad es una medida de variación (i.e. riesgo) del precio de un instrumento financiero a través del tiempo. Antes de que pasemos a los tipos de volatilidades demos un paso atrás y definamos el concepto.

El concepto de volatilidad es comúnmente usado para mencionar la desviación estándar ($\sigma_T^2$) de la distribución subyacente. Un estimado imparcial de la varianza de población ($\sigma_T^2$ ) se define así:

$$\hat \sigma_T^2=\frac{\sum_{i=1}^T (r_i-\bar r)^2}{T-1}$$

Donde

  • $r_i$ es el período de retención (e.g. daily, weekly, monthly, etc.) para retornos
  • $ r$ es la media de retorno sobre el período de muestra $T$

La volatilidad (o desviación estándar) se define por un período de retención, entonces, una volatilidad semanal es diferente a la volatilidad anual.

Además, la definición anterior calcula el promedio de varianza sobre el período de muestra. Asumiendo que los retornos sobrantes (i.e. $r_i - \bar r$ ) son estacionarios (o estacionarios en un sentido débil), entonces $\sigma$ es un buen pronóstico para volatilidades futuras. ¿Exhiben los retornos de acciones una volatilidad que no varía en el tiempo para series de tiempo financieras? Consideremos el S&P 500 ejemplo de retorno diario:

 

Aplicación 500 S&P

S&P 500 daily log returns showing periods of volatility clusters

El retorno de registro diario del índice S&P 500 exhibe patrones comunes que están bien documentados en la literatura financiera:

  1. Grupos de volatilidad – la volatilidad puede ser alta por un cierto período de tiempo (círculos rojos) y baja para otros períodos
  2. Evolución de la volatilidad– la volatilidad evoluciona de manera continua a lo largo del tiempo; i.e. los saltos de volatilidad son muy raros.
  3. La volatilidad no se bifurca en el infinito– la volatilidad puede incrementarse (y mantenerse alta) en algunos períodos de tiempo, pero sin duda baja a un valor de estado estable (largo plazo).
  4. La volatilidad no baja a cero – la volatilidad puede ser baja por un período de tiempo pero con seguridad subirá a un nivel de estado estable.
  5. La volatilidad reacciona más a grandes cantidades de retornos negativos que a retornos positivos.

En síntesis, la volatilidad sí cambia a lo largo del tiempo pero sólo como un proceso continuo de reversión de la media más estacionario (Hint: ARMA process).

La lección más importante es que la volatilidad cambia a lo largo del tiempo, de manera que una predicción que use un histórico de volatilidad (que ignore las dinámicas de volatilidad) no va a ser tan sólida o indicadora para versiones futuras.

 

Desviación estándar de una ventana móvil

Usando el histórico de retornos, podemos computar la desviación estándar usando una ventana móvil (de anchura h). Este enfoque es definitivamente mejor que el histórico ¨uno¨, pero todavía estamos teniendo una conjetura implícita:

“La volatilidad observada en la última ventana de tiempo indica la volatilidad del próximo período.”

 

¿Cuál es el tamaño óptimo de la ventana móvil?

En principio, entre más pequeña sea la ventana, más receptivo es el estándar de desviación móvil a los cambios de volatilidad; sin embargo, puede generar bastante ruido también. En el otro extremo, una ventana más grande es menos ruidosa pero es más lenta en responder a los cambios de volatilidad. Teniendo esto en cuenta, ¿cuál es el valor óptimo que nos puede dar una buena predicción de volatilidad?

Para responder esta pregunta tenemos que desarrollar una función de utilidad (o pérdida) que optemos por maximizar (o minimizar) alterando el tamaño de la ventana (h). Formulemos el problema:

$$\hat \sigma_t^2=\frac{\sum_{i=1}^h (r_{t-i}-\bar r_t)^2}{h-1}$$ $$\bar r_t=\textrm{MA}=\frac{\sum_{i=1}^h r_{t-i}}{h}$$

Donde

  • $\sigma_t$ es la predicción de volatilidad usando información previa $\{r_{t-1},r_{t-2},\cdots,r_{t-h}\}$
  • $r_t$ es el promedio móvil para la misma ventana

Para medir qué tan mal está nuestra predicción, usaremos la raíz del error cuadrático medio (RMSE, por sus siglas en inglés) como nuestra función de pérdida (i.e. entre más pequeña sea la RMSE, mejor).

$$\mathrm{RMSE}=\sqrt\frac{\sum_{i=h}^{T}(\hat\sigma_t^2-r_t^2)^2}{T-h}$$

Donde

  • $r_t^2$ se usa en lugar de la misma volatilidad (obtenida)
  • $(T-h)$ es el número de predicciones de volatilidad disponible

Ahora calcularemos el RMSE para diferentes tamaños de ventanas entre 2 y 30 días, lo evaluaremos y eligiremos el de menor valor.

Gráfica de RMSE y ventana móvil

En el gráfico anterior, una ventana de 12 días tiene el más bajo RMSE, gracias al cual el RMSE se estabiliza. La lección aquí es que el tamaño de la ventana no debe ser menor a 10 días para un buen pronóstico.

Usando la desviación estándar móvil con un tamaño de ventana igual a 12, grafiquemos el pronóstico de volatilidad:

S&P 500 estimado diario de volatilidad usando el método de desviación estándar de la ventana móvil de 12 días

El método de desviación estándar móvil es un avance sobre el histórico simple de volatilidad pues responde a cambios en volatilidad con respecto al tiempo pero le da iguales ponderados a todas las observaciones (dentro de su ventana).

 

Desviación estándard del ponderado de una ventana móvil

Una extensión natural del promedio móvil es asignar ponderados a observaciones en la ventana; a observaciones más recientes se les conceden factores de ponderación más altos (similares al medio variable ponderado) que a observaciones tardías.

En la práctica, la metodología del promedio móvil ponderado exponencialmente (EWMA) es la más usada.

 

Promedio móvil ponderado exponencialmente (EWMA)

En 1992, JP Morgan lanzó su metodología RiskMetrics al mercado, haciendo que su investigación sustancial y análisis estuviera internamente disponible para participantes del mercado. EWMA es parte de la metodología RiskMetrics.

$$\hat \sigma_t^2 = \lambda \times \hat \sigma_{t-1}^2 + (1-\lambda)\times r_{t-1}^2$$

Donde

  • $\lambda$ es el parámetro de alisamiento exponencial $(0 \leq \lambda \leq 1)$

ampliemos la definición de EWMA un poco más:

$$\hat \sigma_t^2 = \lambda \times \hat \sigma_{t-1}^2 + (1-\lambda)\times r_{t-1}^2 = \lambda (\lambda \times \hat \sigma_{t-2}^2 + (1-\lambda)\times r_{t-2}^2) +(1-\lambda)\times r_{t-1}^2$$ $$\hat \sigma_t^2 = \lambda^2 \hat \sigma_{t-2}^2 + (1-\lambda)(r_{t-1}^2+\lambda r_{t-2}^2) = \lambda^3 \hat \sigma_{t-3}^2+(1-\lambda)(r_{t-1}^2+\lambda r_{t-2}^2 + \lambda^2 r_{t-3}^2)$$ $$\hat \sigma_t^2 = \lambda^k \hat \sigma_{t-k}^2+(1-\lambda)\sum_{i=1}^{k}\lambda^{i-1}\times r_{t-i}^2$$

La metodología EWMA tiene unas cuantas propiedades favorables:

  1. Los ponderados se resumen a (1).
    $$(1-\lambda)\sum_{i=1}^{\infty}\lambda^{i-1}=(1-\lambda)\sum_{i=0}^{\infty}\lambda^{i}=\frac{1-\lambda}{1-\lambda}=1$$
  2. Los ponderados más altos se le adjudican a observaciones recientes que más tarde caen en un exponencial declive.

En la metodología RiskMetrics, JP Morgan utiliza $\lambda=0.94$ para casi todo, pero calculemos un óptimo valor de $\lambda$ utilizando la misma metodología en el MASD anterior.

A plot of RMSE vs. different lambda values to estimate S&P 500 daily volatility using the  EWMA method

El valor óptimo para $\lambda$ usando el retorno diario S&P 500 se encuentra en 0.90, que es muy próximo a la regla de oro de 0.94 (ver la gráfica arriba)

Grafiquemos el pronóstico de volatilidad diaria usando la metodología EWMA y $\lambda=0.90$

Volatilidad diaria para S&P500 utilizando el métodoEWMA con un óptimo  lambda de 0.90

Comparando la volatilidad de EWMA con otras obtenidas en el método de desviación estándar de ventana móvil, vemos que se acercan bastante. Sin embargo, el método EWMA nos dio un RMSE levemente menor y fue mucho más fácil de calcular.

La metodología EWMA es un avance con respecto a la media móvil (i.e. simplicidad), pero también tiene unas pocas desventajas, incluyendo el factor de que es simétrica; es decir, que los retornos negativos más grandes tienen el mismo efecto que los positivos más grandes. Como resultado, no captura las dinámicas de volatilidad sino que apenas suaviza las series cuadradas de tiempo.

De hecho, la metodología EWMA es en realidad la función simple exponencial de suavización para los retornos cuadrados de manera que el pronóstico de ¨pasos múltiples¨es bastante plano (así como lo es también en la fórmula de Brown).

$$\hat \sigma_{t+1}^2 = \lambda \times \hat \sigma_{t}^2 + (1-\lambda)\times r_{t}^2$$ $$\hat \sigma_{t+2}^2 = \lambda \times \hat \sigma_{t+1}^2 + (1-\lambda)\times \hat \sigma_{t+1}^2 = \hat \sigma_{t+1}^2$$ $$\hat \sigma_{t+k}^2=\hat \sigma_{t+1}^2$$

Nótese que la metodología EWMA no exhibe reversión de la media también.

 

Conclusión

En este ensayo empezamos a discutir los patrones generales encontrados en las series de tiempo financieras (e.g. agrupaciones, reversión de la media, reacción asimétrica a retornos positivos y negativos), y eso seguido de dos métodos para estimar la volatilidad usando histórico de datos: la desviación estándar móvil y la volatilidad ponderada exponencialmente (EWMA)

Para comparar los beneficios del pronóstico de volatilidad de cada método, hicimos uso de la raíz cuadrada del error cuadrático medio (RMSE) entre los retornos cuadráticos diarios y la varianza estimada. Usando RMSE como una función de pérdida calculamos los valores óptimos del tamaño de la ventana móvil y el parámetro de alisamiento EWMA

Además, comparamos el valor de cada método RMSE y encontramos que EWMA apenas encaja y, además, fue más fácil de calcular.

Finalmente, ningún método captura alguna de las dinámicas del procesos de volatilidad; en el mejor de los casos son funciones que suavizan y dan un buen estimado en el marco de un horizonte muy estrecho.

 

Apéndice

Para estimar la volatilidad de las acciones usando históricos de datos, algunos académicos propusieron fórmulas alternativas para reemplazar el cálculo de desviación estándar haciendo uso de información diaria (abierta y cerrada) y (superior e inferior), para mejorar la calidad del estimado. A continuación encontrarán una lista de algunas:

  1. Parkinson - llamada así en honor al físico Michael Parkinson, es un método que utiliza únicamente los datos diarios H-LO para estimar la volatilidad del día siguiente
  2. Garman-Klass - desarrollado por Graman and Klass, utiliza los precios altos, bajos y aproximados para estimar la volatilidad
  3. Yang Zhang – una extensión del estimado de Garman-Klass, utiliza los precios altos, bajos y aproximados para estimar la volatilidad futura

 

Adjuntos

La versión en PDF de este problema junto con la hoja de excel se puede encontrar a continuación:

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